Phương pháp giải:

Xác định tâm, tính bán kính các đường tròn và vị trí tương đối của hai đường tròn.

+) Nếu hai đường tròn tiếp xúc trong nhau thì có 1 đường tiếp tuyến chung.

+) Nếu hai đường tròn tiếp xúc ngoài nhau thì có 3 đường tiếp tuyến chung.

+) Nếu hai đường tròn ngoài nhau thì có 4 đường tiếp tuyến chung.

+) Nếu hai đường tròn đựng nhau thì không có tiếp tuyến chung.

+) Nếu hai đường tròn cắt nhau thì có 2 đường tiếp tuyến chung.

Gọi \(\Delta :\,\,ax + by + c = 0\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right).\)

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {{I_1};\,\,\Delta } \right) = {R_1}\\d\left( {{I_2};\,\,\Delta } \right) = {R_2}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\left( {{C_1}} \right):\,\,\,{x^2} + {y^2} - 2x - 3 = 0\) có tâm \({I_1}\left( {1;\,\,0} \right)\) và bán kính \({R_1} = \sqrt {1 + 3}  = 2.\)

\(\left( {{C_2}} \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 8x - 8y + 28 = 0\) có tâm \({I_2}\left( {4;\,\,4} \right)\) và bán kính \({R_2} = \sqrt {{4^2} + {4^2} - 28}  = 2.\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{I_1}{I_2}}  = \left( {3;\,\,4} \right) \Rightarrow {I_1}{I_2} = 5.\)

Lại có:\({R_1} + {R_2} = 2 + 2 = 4.\)

\( \Rightarrow {I_1}{I_2} = 5 > {R_1} + {R_2} = 4 \Rightarrow \left( {{C_1}} \right)\)  và \(\left( {{C_2}} \right)\) ngoài nhau.

\( \Rightarrow \) Hai đường tròn có 4 tiếp tuyến chung.

Gọi \(\Delta :\,\,ax + by + c = 0\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right).\)

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {{I_1};\,\,\Delta } \right) = {R_1}\\d\left( {{I_2};\,\,\Delta } \right) = {R_2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\left| {a + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2\\\frac{{\left| {4a + 4b + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {a + c} \right| = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left| {4a + 4b + c} \right| = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left| {a + c} \right| = \left| {4a + 4b + c} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + c = 4a + 4b + c\\a + c =  - 4a - 4b - c\end{array} \right.\)  \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3a + 4b = 0\\5a + 4b + 2c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - \frac{{4b}}{3}\\c =  - \frac{{5a + 4b}}{2}\end{array} \right..\)

+) Với \(a =  - \frac{{4b}}{3}\) \( \Rightarrow \left| {c - \frac{{4b}}{3}} \right| = 2\sqrt {\frac{{16}}{9}{b^2} + {b^2}} \) \( \Leftrightarrow \left| {c - \frac{{4b}}{3}} \right| = \frac{{10\left| b \right|}}{3}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c - \frac{{4b}}{3} = \frac{{10b}}{3}\\c - \frac{{4b}}{3} =  - \frac{{10b}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = \frac{{14b}}{3}\\c =  - 2b\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{{4b}}{3}\\c = \frac{{14b}}{3}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{{4b}}{3}\\c =  - 2b\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\, - \frac{4}{3}x + y + \frac{{14}}{3} = 0\\{\Delta _2}:\,\, - \frac{4}{3}x + y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\,\,4x - 3y - 14 = 0\\{\Delta _2}:\,\,\,4x - 3y + 6 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(c =  - \frac{{5a + 4b}}{2}\) \( \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow \left| {a - \frac{{5a - 4b}}{2}} \right| = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {3a + 4b} \right| = 4\sqrt {{a^2} + {b^2}}  \Leftrightarrow {\left( {3a + 4b} \right)^2} = 16\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 9{a^2} + 24ab + 16{b^2} = 16{a^2} + 16{b^2}\\ \Leftrightarrow a\left( {7a - 24b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\7a - 24b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0 \Rightarrow c =  - 2b\\a = \frac{{24b}}{7} \Rightarrow c =  - \frac{{74b}}{7}\end{array} \right.\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\c =  - 2b\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{24b}}{7}\\c =  - \frac{{74b}}{7}\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\Delta _3}:\,\,\,y - 2 = 0\\{\Delta _4}:\,\,\,\frac{{24}}{7}x + y - \frac{{74}}{7} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\Delta _3}:\,\,y - 2 = 0\\{\Delta _4}:\,\,24x + 7y - 74 = 0\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy có 4 đường tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là: \(\left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\,4x - 3y - 14 = 0\\{\Delta _2}:\,\,\,4x - 3y + 6 = 0\\{\Delta _3}:\,\,y - 2 = 0\\{\Delta _4}:\,\,24x + 7y - 74 = 0\end{array} \right..\)

Chọn B.