Phương pháp giải:

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;\,\,2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {1 + {2^2}}  = \sqrt 5 .\)

Ta có: \(M \in d \Rightarrow M\left( {m;\,\,m + 1} \right).\)

Theo đề bài ta có:\(\angle AMB = {60^0} \Rightarrow \Delta AMB\) đều \( \Rightarrow MI = 2IA = 2R = 2\sqrt 5 .\)

Lời giải chi tiết:

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;\,\,2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {1 + {2^2}}  = \sqrt 5 .\)

 Ta có: \(M \in d \Rightarrow M\left( {m;\,\,m + 1} \right).\)

Theo đề bài ta có:\(\angle AMB = {60^0} \Rightarrow \Delta AMB\) đều \( \Rightarrow MI = 2IA = 2R.\)

\( \Rightarrow M \in \left( {C'} \right)\) với \(\left( {C'} \right)\) là đường tròn tâm \(I\left( { - 1;\,\,2} \right)\) và có bán kính \(R' = 2\sqrt 5 cm.\)

\( \Rightarrow \left( {C'} \right):\,\,\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 20.\)

\( \Rightarrow \) \(M\) là giao điểm của \(d:\,\,\,x - y + 1 = 0\) và \(\left( {C'} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} + {\left( {m + 1 - 2} \right)^2} = 20\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 + {m^2} - 2m + 1 = 20\\ \Leftrightarrow 2{m^2} = 18\\ \Leftrightarrow {m^2} = 9\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}M\left( {3;\,\,4} \right)\\M\left( { - 3; - 2} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Chọn A.