Phương pháp giải:

Đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\left( {0;\,\,2} \right)\) và bán kính \({R_1} = \sqrt {{2^2} + 5}  = 3.\) 

Đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}\left( {3;\,\, - 4} \right)\) và bán kính \({R_2} = \sqrt {{3^2} + {4^2} - 16}  = 3.\) 

\( \Rightarrow {I_1}{I_2} = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4 - 2} \right)}^2}}  = 3\sqrt 5  > {R_1} + {R_2} = 6\)

\( \Rightarrow \) Hai đường tròn đã cho ngoài \( \Rightarrow \) hai đường tròn có 4 đường tiếp tuyến chung.

Gọi \(\Delta :\,\,ax + by + c = 0\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right).\)

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {{I_1};\,\,\Delta } \right) = {R_1}\\d\left( {{I_2};\,\,\Delta } \right) = {R_2}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\left( {0;\,\,2} \right)\) và bán kính \({R_1} = \sqrt {{2^2} + 5}  = 3.\) 

Đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}\left( {3;\,\, - 4} \right)\) và bán kính \({R_2} = \sqrt {{3^2} + {4^2} - 16}  = 3.\) 

\( \Rightarrow {I_1}{I_2} = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4 - 2} \right)}^2}}  = 3\sqrt 5  > {R_1} + {R_2} = 6\)

\( \Rightarrow \) Hai đường tròn đã cho ngoài \( \Rightarrow \) hai đường tròn có 4 đường tiếp tuyến chung.

Gọi \(\Delta :\,\,ax + by + c = 0\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right).\)

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {{I_1};\,\,\Delta } \right) = {R_1}\\d\left( {{I_2};\,\,\Delta } \right) = {R_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\left| {2b + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 3\\\frac{{\left| {3a - 4b + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 3\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {2b + c} \right| = \left| {3a - 4b + c} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2b + c = 3a - 4b + c\\2b + c =  - 3a + 4b - c\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3a = 6b\\3a - 2b + 2c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2b\\b = \frac{{3a + 2c}}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(a = 2b \Rightarrow \frac{{\left| {2b + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 3 \Leftrightarrow \left| {2b + c} \right| = 3\sqrt {4{b^2} + {b^2}} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {2b + c} \right| = 3\sqrt 5 \left| b \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2b + c = 3\sqrt 5 b\\2b + c =  - 3\sqrt 5 b\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = \left( {3\sqrt 5  - 2} \right)b\\c =  - \left( {3\sqrt 5  + 2} \right)b\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 2b\\c = \left( {3\sqrt 5  - 2} \right)b\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = 2b\\c =  - \left( {3\sqrt 5  + 2} \right)b\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\,2x + y + 3\sqrt 5  - 2 = 0\\{\Delta _2}:\,\,2x + y - 3\sqrt 5  - 2 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(b = \frac{{3a + 2c}}{2} \Rightarrow \frac{{\left| {2b + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 3 \Leftrightarrow \left| {3a + 2c + c} \right| = 3\sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{3a + 2c}}{2}} \right)}^2}} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {3a + 3c} \right| = 3\sqrt {\frac{{13{a^2} + 12ac + 4{c^2}}}{4}} \\ \Leftrightarrow \left| {a + c} \right| = \sqrt {\frac{{13{a^2} + 12ac + 4{c^2}}}{4}} \\ \Leftrightarrow 4{\left( {a + c} \right)^2} = 13{a^2} + 12ac + 4{c^2}\\ \Leftrightarrow 9{a^2} + 4ac = 0 \Leftrightarrow a\left( {9a + 4c} \right) = 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\9a + 4c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a =  - \frac{4}{9}c\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = c\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{4}{9}c\\b = \frac{1}{3}c\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\Delta _3}:\,\,\,y + 1 = 0\\{\Delta _4}:\,\, - \frac{4}{9}x + \frac{1}{3}y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\Delta _3}:\,\,\,y + 1 = 0\\{\Delta _4}:\,\,\,4x - 3y - 9 = 0\end{array} \right..\end{array}\)

Chọn D.