Phương pháp giải:

Đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\left( {5;\,\,0} \right)\) và bán kính \({R_1} = 5.\) 

Đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}\left( { - 2;\,\,1} \right)\) và bán kính \({R_2} = \sqrt {{2^2} + 1 + 20}  = 5.\) 

\( \Rightarrow {I_1}{I_2} = \sqrt {{{\left( { - 2 - 5} \right)}^2} + 1}  = 5\sqrt 2  < {R_1} + {R_2} = 10\)

\( \Rightarrow \) Hai đường tròn đã cho cắt nhau \( \Rightarrow \) hai đường tròn có 2 đường tiếp tuyến chung.

Gọi \(\Delta :\,\,ax + by + c = 0\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right).\)

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {{I_1};\,\,\Delta } \right) = {R_1}\\d\left( {{I_2};\,\,\Delta } \right) = {R_2}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\left( {5;\,\,0} \right)\) và bán kính \({R_1} = 5.\) 

Đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}\left( { - 2;\,\,1} \right)\) và bán kính \({R_2} = \sqrt {{2^2} + 1 + 20}  = 5.\) 

\( \Rightarrow {I_1}{I_2} = \sqrt {{{\left( { - 2 - 5} \right)}^2} + 1}  = 5\sqrt 2  < {R_1} + {R_2} = 10\)

\( \Rightarrow \) Hai đường tròn đã cho cắt nhau \( \Rightarrow \) hai đường tròn có 2 đường tiếp tuyến chung.

Gọi \(\Delta :\,\,ax + by + c = 0\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right).\)

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {{I_1};\,\,\Delta } \right) = {R_1}\\d\left( {{I_2};\,\,\Delta } \right) = {R_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\left| {5a + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 5\\\frac{{\left| { - 2a + b + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 5\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{\left| {5a + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| { - 2a + b + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\ \Leftrightarrow \left| {5a + c} \right| = \left| { - 2a + b + c} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5a + c =  - 2a + b + c\\5a + c = 2a - b - c\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 7a\\3a + b + 2c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 7a\\b =  - 3a - 2c\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(b = 7a \Rightarrow \frac{{\left| {5a + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 5 \Leftrightarrow \left| {5a + c} \right| = 5\sqrt {{a^2} + 49{a^2}} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {5a + c} \right| = 25\sqrt 2 \left| a \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5a + c = 25\sqrt 2 a\\5a + c =  - 25\sqrt 2 a\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = \left( {25\sqrt 2  - 5} \right)a\\c =  - \left( {25\sqrt 2  + 5} \right)a\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\,x + 7y + 25\sqrt 2  - 5 = 0\\{\Delta _2}:\,\,\,x + 7y - 25\sqrt 2  - 5 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(b =  - 3a - 2c \Rightarrow \frac{{\left| {5a + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 5\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {5a + c} \right| = 5\sqrt {{a^2} + {{\left( {3a + 2c} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow \left| {5a + c} \right| = 5\sqrt {10{a^2} + 12ac + 4{c^2}} \\ \Leftrightarrow 25{a^2} + 10ac + {c^2} = 25\left( {10{a^2} + 12ac + 4{c^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 225{a^2} + 290ac + 99c = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm.

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn bài toán: \(\left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\,x + 7y + 25\sqrt 2  - 5 = 0\\{\Delta _2}:\,\,\,x + 7y - 25\sqrt 2  - 5 = 0\end{array} \right.\)

Chọn C.