Phương pháp giải:

Đường tròn \(\left( C \right):\,\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( {1;\, - 2} \right)\) và bán kính \(R = 3.\)

\(\Delta PAB\) là tam giác đều \( \Leftrightarrow PA = 2AI = 6.\)

\( \Rightarrow P \in \left( {C'} \right)\) với \(\left( {C'} \right)\) là đường tròn tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\) và có bán kính \(R' = 6cm.\)

\( \Rightarrow \) \(P\) là giao điểm của \(d:\,\,\,3x - 4y + m = 0\) và \(\left( {C'} \right).\)

Mà có duy nhất một điểm \(P\) mà từ \(P\) có thể kẻ được hai tiếp tuyến \(PA,\,\,PB\) với \(A,\,\,B\) là các tiếp điểm sao cho \(\Delta PAB\) là tam giác đều. 

\( \Rightarrow d\) tiếp xúc với \(\left( {C'} \right)\) hay \(d'\) là tiếp tuyến của \(\left( {C'} \right)\) tại \(P.\)

\( \Rightarrow d\left( {I;\,\,d} \right) = 6.\)

Lời giải chi tiết:

Đường tròn \(\left( C \right):\,\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( {1;\, - 2} \right)\) và bán kính \(R = 3.\)

\(\Delta PAB\) là tam giác đều \( \Leftrightarrow PI = 2AI = 6.\)

\( \Rightarrow P \in \left( {C'} \right)\) với \(\left( {C'} \right)\) là đường tròn tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\) và có bán kính \(R' = 6cm.\)

\( \Rightarrow \left( {C'} \right):\,\,\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 36.\)

\( \Rightarrow \) \(P\) là giao điểm của \(d:\,\,\,3x - 4y + m = 0\) và \(\left( {C'} \right).\)

Mà có duy nhất một điểm \(P\) mà từ \(P\) có thể kẻ được hai tiếp tuyến \(PA,\,\,PB\) với \(A,\,\,B\) là các tiếp điểm sao cho \(\Delta PAB\) là tam giác đều. 

\( \Rightarrow d\) tiếp xúc với \(\left( {C'} \right)\) hay \(d'\) là tiếp tuyến của \(\left( {C'} \right)\) tại \(P.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {I;\,\,d} \right) = 6 \Leftrightarrow \frac{{\left| {3 + 4.2 + m} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 6\\ \Leftrightarrow \left| {11 + m} \right| = 30 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 11 = 30\\m + 11 =  - 30\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 19\\m =  - 41\end{array} \right..\end{array}\)

Chọn  D.