Phương pháp giải:

+) Xác định tâm và bán kính của đường tròn \(\left( {{C_1}} \right),\,\,\left( {{C_2}} \right)\)

+) Xác định phương trình đường thẳng \(d\) cắt \(\left( {{C_1}} \right)\) tại hai điểm \(A,\,\,B\);   đường thẳng \(d\) cắt \(\left( {{C_2}} \right)\) tại hai điểm \(A,\,\,C\);

Lời giải chi tiết:

Theo giả thiết : \(\left( {{C_1}} \right):\;I = \left( {0;0} \right),R = \sqrt {13} .\left( {{C_2}} \right);J\left( {6;0} \right),R' = 5\)

Gọi đường thẳng \(d\) qua \(A\left( {2;3} \right)\) có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right) \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + at\\y = 3 + bt\end{array} \right.\)

\(d\) cắt \(\left( {{C_1}} \right)\) tại \(A\), \(B\): \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + at\\y = 3 + bt\\{x^2} + {y^2} = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\left( {{a^2} + {b^2}} \right){t^2} + 2\left( {2a + 3b} \right)t} \right] = 0 \Rightarrow t =  - \frac{{2a + 3b}}{{{a^2} + {b^2}}}\)

\( \Leftrightarrow B\left( {\frac{{b\left( {2b - 3a} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}};\frac{{a\left( {3a - 2b} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)\).

Tương tự \(d\) cắt \(\left( {{C_2}} \right)\) tại \(A\), \(C\) thì tọa độ của \(A\), \(C\) là nghiệm của hệ : \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + at\\y = 3 + bt\\{\left( {x - 6} \right)^2} + {y^2} = 25\end{array} \right. \Rightarrow t = \frac{{2\left( {4a - 3b} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}}\)\( \Leftrightarrow C\left( {\frac{{10{a^2} - 6ab + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}};\frac{{3{a^2} + 8ab - 3{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)\)

Nếu 2 dây cung bằng nhau thì \(A\) là trung điểm của \(A\),\(C\). Từ đó ta có phương trình :

\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {2{b^2} - 3ab} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{10{a^2} - 6ab + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = 4\)\( \Leftrightarrow 6{a^2} - 9ab = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = \frac{3}{2}b\end{array} \right.\)

Với \(a = 0 \Rightarrow \left( d \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3 + t\end{array} \right. \Rightarrow \left( d \right):x - 2 = 0\).

Với \(a = \frac{3}{2}b \Rightarrow \left( {d'} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 3 + 2t\end{array} \right. \Rightarrow \left( {d'} \right):2x - 3y + 5 = 0\)

Vậy ta có hai đường thẳng \(\left( d \right):x - 2 = 0\)  và \(\left( {d'} \right):2x - 3y + 5 = 0\)

Chọn  A.