Phương pháp giải:

Hai tiếp tuyến tại \(A\), \(B\) của đường tròn tâm \(I\) vuông góc và cắt nhau tại \(M\) khi đó \(IBMA\) là hình vuông.

\(M \in d \Rightarrow \) Tọa độ của điểm \(M\)

Áp dụng các tính chất của hình vuông, định lý Pytago để xác định tọa độ điểm \(M\)

Lời giải chi tiết:

\(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x - 2y - 1\,\, = \,\,0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I\left( {2;1} \right)\\R = 2\end{array} \right.\).

\(M\) thuộc \(d\) suy ra \(M(t; - 1 - t)\).

Nếu hai tiếp tuyến vuông góc với nhau thì \(MAIB\) là hình vuông (\(A\),\(B\) là 2 tiếp điểm).

Do đó \(AB = MI = IA\sqrt 2  = R\sqrt 2  = \sqrt 6 .\sqrt 2  = 2\sqrt 3 \)

Ta có : \(MI = \sqrt {{{\left( {2 - t} \right)}^2} + {{\left( {2 + t} \right)}^2}}  = \sqrt {2{t^2} + 8}  = 2\sqrt 3 \)

Do đó : \(2{t^2} + 8 = 12\)\( \Leftrightarrow {t^2} = 2\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - \sqrt 2  \Rightarrow {M_1}\left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2  - 1} \right)\\t = \sqrt 2  \Rightarrow {M_2}\left( {\sqrt 2 ; - \sqrt 2  - 1} \right)\end{array} \right.\)

Chọn  A.