Phương pháp giải:

Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng để xác định tọa tâm của đường tròn \(C\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I\) là tâm của đường tròn \(\left( C \right)\)

\(\left( {AB} \right):\,\,x - y + 1 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {1;\, - 1} \right),\,\,\overrightarrow {{u_{AB}}}  = \left( {1;\,\,1} \right).\)

Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\)\( \Rightarrow M\left( {2;\,\,3} \right)\)

Phương trình đường thẳng trung trực của đoạn \(AB\) là \(d:x - 2 + y - 3 = 0 \Leftrightarrow x + y - 5 = 0\)

\( \Rightarrow I\left( {a;\,\,5 - a} \right)\) với \(a \in \mathbb{Z}\)

Ta có: \(R = IA = d\left( {I;\,\,\Delta } \right) = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {a - 3} \right)}^2}}  = \frac{{\left| {2a + 2} \right|}}{{\sqrt {10} }}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 10\left( {{a^2} - 2a + 1 + {a^2} - 6a + 9} \right) = 4{a^2} + 8a + 4\\ \Leftrightarrow 16{a^2} - 88a - 96 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 4\,\,\,\left( {tm} \right)\\a = \frac{3}{2}\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I\left( {4;\,\,\,1} \right)\\R = \sqrt {10} \end{array} \right..\end{array}\)

Vậy phương trình đường tròn là: \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 10\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 8x - 2y + 7 = 0.\)

Chọn  D.