Phương pháp giải:

Chứng minh ba điểm \(ABC\) là tam giác vuông.

Khi đó, độ dài cạnh huyền sẽ là đường kính của đường tròn đi qua ba điểm \(A\left( {0;\,\,4} \right),\,\,B\left( {3;\,\,4} \right),\,\,C\left( {3;\,\,0} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(A\left( {0;\,\,4} \right),\,\,B\left( {3;\,\,4} \right),\,\,C\left( {3;\,\,0} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {3;\,\,0} \right)\\\overrightarrow {AC}  = \left( {3;\,\, - 4} \right)\\\overrightarrow {BC}  = \left( {0;\,\, - 4} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = 3\\AC = 5\\BC = 4\end{array} \right.\)

Vì \({5^2} = {4^2} + 3{}^2 \Rightarrow \)\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(C\) (định lý Py-ta-go đảo).

\( \Rightarrow \)\(AC\) là đường kính của đường tròn \(\left( C \right)\)\( \Rightarrow R = \frac{{AC}}{2} = \frac{5}{2}\)

Chọn  D.