Phương pháp giải:

+) Gọi \(I\left( {a;\,\,b} \right)\) là tâm của đường tròn \(\left( C \right)\)

+) \(IM = R\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I\left( {a;\,\,b} \right)\) là tâm của đường tròn \(\left( C \right)\).

Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), vì \(M\left( {2;\,\,1} \right)\) thuộc góc phần tư thứ (I) và đường tròn tiếp xúc hai trục \(Ox,\,\,Oy\) nên \(I\left( {a;\,\,a} \right)\) với \(a > 0\).

Ta có: \({R^2} = {a^2} = I{M^2} = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {a - 1} \right)^2}\)

\( \Rightarrow {a^2} = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {a - 1} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {a^2} = {a^2} - 4a + 4 + {a^2} - 2a + 1\)

\( \Leftrightarrow {a^2} - 6a + 5 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 5\end{array} \right.\)

+) Với \(a = 1\) \( \Rightarrow I\left( {1;\,\,1} \right),\,\,R = 1\).

\( \Rightarrow \) Phương trình đường tròn \(\left( C \right):\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\)

+) Với \(a = 5 \Rightarrow I\left( {5;\,\,5} \right),\,\,R = 5\)

\( \Rightarrow \) Phưng trình đường tròn \(\left( C \right):\,\,{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 25\)

Chọn  A.