Phương pháp giải:

Gọi \(I\left( {a;\,\,b} \right)\) là tâm của đường tròn \(\left( C \right)\), \(\Delta '\) là đường thẳng đi qua \(I\,\left( {a;\,\,b} \right)\) và vuông góc với \(\Delta \) tại \(M\left( {1;\,\,2} \right)\).

Đường tròn đi qua điểm \(A\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta \) tại \(M\), ta có: \(IA = IM\)

Lời giải chi tiết:

+) \(\Delta :\,\,x - y + 1 = 0 \Rightarrow {\vec n_\Delta } = \left( {1;\,\, - 1} \right),\,\,{\vec u_\Delta } = \left( {1;\,\,1} \right)\)

Gọi \(\Delta '\) là đường thẳng đi qua \(M\left( {1;\,2} \right)\) và vuông góc với \(\Delta .\) Ta có:

\(\Delta ':\,\,\,\,x - 1 + y - 2 = 0 \Leftrightarrow x + y - 3 = 0.\)

Khi đó tâm \(I\,\left( {a;\,\,b} \right) \in \left( {\Delta '} \right):\,\,x + y - 3 = 0 \Rightarrow I\left( {a;\,\,3 - a} \right)\).

Vì đường tròn đi qua điểm \(A\left( {1;\,\, - 2} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta \) tại \(M\), ta có: \(R = IA = IM\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {{\left( {a - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 5 + a} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {a - 1} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( { - 5 + a} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a - 1 = a - 5\\a - 1 =  - a + 5\end{array} \right. \Leftrightarrow 2a = 6 \Leftrightarrow a = 3.\\ \Rightarrow I\left( {3;\,\,0} \right)\\ \Rightarrow R = IA = \sqrt {{{\left( {1 - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 0} \right)}^2}}  = \sqrt 8  = 2\sqrt 2 .\end{array}\)

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là \(\left( C \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 8\).

Chọn  D.