Phương pháp giải:

Đường cong \(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) là đường tròn nếu thỏa mãn các điều kiện:

+) Hệ số của \(\,{x^2},\,\,{y^2}\) bằng nhau

+) \({a^2} + {b^2} - c > 0\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({x^2} + y{}^2 - 2x + 2my + 10 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - m\\c = 10\end{array} \right.\)

Để \(\left( 1 \right)\) là phương trình đường tròn thì \({a^2} + {b^2} - c > 0 \Rightarrow {1^2} + {\left( { - m} \right)^2} - 10 > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 9 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 3\\m <  - 3\end{array} \right.\)

Mà \(m\) là số nguyên dương không vượt quá \(10\) nên \(m \in \left\{ {4;\,\,5;\,\,6; \ldots ;\,\,10} \right\}.\)

Vậy có \(7\) giá trị nguyên dương của \(m\) không vượt quá \(10\) để \(\left( 1 \right)\) là phương trình đường tròn.

Chọn  C.