Phương pháp giải:

Giả sử đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\)

Vì đường tròn đi qua ba điểm \(A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right)\), \(B\left( {{x_B};\,\,{y_B}} \right)\), \(C\left( {{x_C};\,\,{y_C}} \right)\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x_A^2 + y_A^2 - 2a{x_A} - 2b{y_A} + c = 0\\x_B^2 + y_B^2 - 2a{x_B} - 2b{y_B} + c = 0\\x_C^2 + y_C^2 - 2a{x_C} - 2b{y_C} + c = 0\end{array} \right.\)

Giải hệ phương trình để tìm \(a,\,\,b,\,\,c\).

Lời giải chi tiết:

Giả sử đường tròn  có phương trình:

Vì đường tròn đi qua ba điểm \(A\left( {1;\,\,2} \right),\,\,B\left( {5;\,\,2} \right),\,\,C\left( {1;\,\, - 3} \right)\) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}{1^2} + {2^2} - 2a - 4b + c = 0\\{5^2} + {2^2} - 10a - 4b + c = 0\\{1^2} + {\left( { - 3} \right)^2} - 2a + 6b + c = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a - 4b + c =  - 5\\ - 10a - 4b + c =  - 29\\ - 2a + 6b + c =  - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b =  - \frac{1}{2}\\c =  - 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( C \right):{x^2} + {y^2} - 6x + y - 1 = 0\)

Vậy phương trình đường tròn đi qua ba điểm \(A\left( {1;\,\,2} \right),\,\,B\left( {5;\,\,2} \right),\,\,C\left( {1;\,\, - 3} \right)\) là  \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 6x + y - 1 = 0\).

Chọn  C.