Phương pháp giải:

- Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\), sử dụng định lí: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền chứng minh \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ...

- Áp dụng định lí Pytago và các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính bán kính khối cầu.

- Sử dụng công thức: Thể tích khối cầu bán kính \(R\) là: \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\\BC \bot AD\,\,\left( {AD \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow BC \bot \left( {ABD} \right) \Rightarrow BC \bot BD.\)

Suy ra \(\Delta BCD\) vuông tại \(B\) \( \Rightarrow IB = IC = ID\) (tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền).

Lại có \(\Delta ACD\) vuông tại \(A\) (do \(AD \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AD \bot AC\)) \( \Rightarrow IA = IC = ID\).

Do đó \(IA = IB = IC = ID\) hay \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\). Khi đó bán kính mặt cầu là \(R = IC = \dfrac{{CD}}{2}.\)

Ta có: \(AD \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(AC\) là hình chiếu của \(CD\) lên \(\left( {ABC} \right)\)

\( \Rightarrow \angle \left( {CD;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {CD;CA} \right) = \angle ACD = {45^0}\).

Xét tam giác vuông \(ABC\) có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5\) (định lí Pytago).

Xét tam giác vuông \(ACD\) có: \(CD = \dfrac{{AC}}{{\cos {{45}^0}}} = 5\sqrt 2 \) \( \Rightarrow R = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) là: \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{{125\sqrt 2 }}{3}\pi .\)

Chọn C.