Phương pháp giải:

Cách tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp:

      +) Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy (Vì vậy, hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp khi có đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).

      +) Dựng đường thẳng \(d\) qua tâm đường tròn ngoại tiếp và vuông góc với mặt phẳng đáy.

      +) Dựng mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng trung trực của một cạnh bên bất kì.

            +) Giao điểm của \(d\) và mp\(\left( \alpha  \right)\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\) và \(I\) lần lượt là trung điểm của \(AC,\,\,DC.\)

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên trung điểm \(M\) của \(AC\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

\(M,\,\,I\) lần lượt là trung điểm của \(AC,\,\,DC\) nên \(MI\) là đường trung bình trong \(\Delta ADC\) hay \(MI\parallel AD\).

Mặt khác, theo giả thiết \(DA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow MI \bot \left( {ABC} \right)\).

Mà \(M\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) và \(MI \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(MI\) là trục của tam giác \(ABC\) hay \(IA = IB = IC\).

Vì \(DA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow DA \bot AC\)

Tam giác \(DAC\) vuông tại \(A\) nên \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác hay \(IA = ID = IC\).

Do đó, \(IA = IB = IC = ID\) hay \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(D.ABC\).

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} \Rightarrow AC = 5a\).

Tam giác \(DAC\) vuông tại \(A\) nên \(CD = \sqrt {A{D^2} + A{C^2}}  = 5\sqrt 2 a\).

Vậy bán kính của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là \(R = IA = \dfrac{1}{2}DC = \dfrac{{5\sqrt 2 a}}{2}.\)

Chọn D.