Phương pháp giải:

- Diện tích xung quanh của hình nón có đường sinh \(l\), bán kính đáy \(R\) là: \({S_{xq}} = \pi rl\). Tìm \(l\).

- Tìm chiều cao của khối nón: \(h = \sqrt {{l^2} - {R^2}} \).

- Thể tích xung quanh của hình nón có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(R\) là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(h,\,\,l\) lần lượt là đường cao và độ dài đường sinh của hình nón.

Diện tích xung quanh hình nón là \(S = \pi Rl = 2\sqrt 5 \pi \)\( \Leftrightarrow \pi .2.l = 2\sqrt 5 \pi  \Leftrightarrow l = \sqrt 5 .\)

Chiều cao của hình nón là: \(h = \sqrt {{l^2} - {R^2}}  = \sqrt {5 - 4}  = 1\).

Vậy thể tích của khối nón là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{{4\pi }}{3}.\)

Chọn C.