Phương pháp giải:

- Cô lập \(m\).

- Bất phương trình dạng \(g\left( x \right) < m\) có nghiệm  với mọi \(x \in \left( {0;2} \right]\)khi và chỉ khi \(m > \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( x \right)\).

- Lập BBT hoặc sử dụng phương pháp hàm số xác định \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(f\left( x \right) < x + m \Leftrightarrow f\left( x \right) - x < m\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - x\)với \(x \in \left( {0;2} \right]\)ta có: \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 1 < 0\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right].\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0;2} \right]\)\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( x \right) = g\left( 2 \right) = f\left( 2 \right) - 2\)

Để bất phương trình \(f\left( x \right) < x + m\) có nghiệm với mọi \(x \in \left( {0;2} \right]\) thì \(m > f\left( 2 \right) - 2.\)

Chọn C.