Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = 4m{x^3} + 2\left( {m + 1} \right)x = x\left[ {4m{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)} \right]\).

+) TH1: \(m = 0 \Rightarrow y = {x^2} + 1\) \( \Rightarrow \)Loại do hàm số không có cực đại (Đồ thị hàm số là parabol có bề lõm hướng lên).

+) TH2: \(m \ne 0\).

Để hàm số \(y = m{x^4} + \left( {m + 1} \right){x^2} + 1\) có đúng một điểm cực đại thì:

Hoặc: \(\left\{ \begin{array}{l}m < 0\\ - \dfrac{{2\left( {m + 1} \right)}}{{4m}} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\m + 1 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le  - 1\).

Mà \(m \in \mathbb{Z},m \in \left[ { - 2018;2019} \right] \Rightarrow m \in \left\{ { - 2018; - 2017;...; - 1} \right\}:\) 2018 giá trị.

Hoặc: \(\left\{ \begin{array}{l}m > 0\\ - \dfrac{{2\left( {m + 1} \right)}}{{4m}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m + 1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \)

Vậy có 2018 giá trị của m thỏa mãn.

Chọn: B.