Phương pháp giải:

Số chia hết cho 6 là số chia hết cho 2 và cho 3.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(A = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6} \right\}\).

Gọi số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau là \(X = \overline {abcde} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a,b,c,d,e \in A} \right)\).

Vì \(X\,\, \vdots \,\,6\) nên \(X\,\, \vdots \,\,2\) và \(X\,\, \vdots \,\,3\).

TH1: \(d = 0\). Khi đó \(a + b + c + d\,\, \vdots \,\,3\).

\( \Rightarrow \left( {a,b,c,d} \right) \in \left\{ {\left( {3;6;1;2} \right);\left( {3;6;1;5} \right);\left( {3;6;4;2} \right);\left( {3;6;4;5} \right);\left( {1;2;4;5} \right)} \right\}\).

\( \Rightarrow \) Có \(5.4! = 120\) số chia hết cho 6.

TH2: \(e = 2 \Rightarrow a + b + c + d\) chia 3 dư 1.

\( \Rightarrow \left( {a;b;c;d} \right) \in \left\{ {\left( {0;3;6;1} \right);\left( {0;3;6;4} \right);\left( {0;1;4;5} \right);\left( {1;3;4;5} \right);\left( {1;4;5;6} \right)} \right\}\).

\( \Rightarrow \) Có \(3\left( {4! - 3!} \right) + 2.4! = 102\) số.

TH3: \(e = 4 \Rightarrow a + b + c + d\) chia 3 dư 2.

\( \Rightarrow \left( {a;b;c;d} \right) \in \left\{ {\left( {0;3;6;2} \right);\left( {0;3;6;5} \right);\left( {0;1;2;5} \right);\left( {3;1;2;5} \right);\left( {6;1;2;5} \right)} \right\}\).

\( \Rightarrow \) Có \(3\left( {4! - 3!} \right) + 2.4! = 102\) số.

TH4: \(e = 6 \Rightarrow a + b + c + d\) chia 3.

\( \Rightarrow \left( {a,b,c,d} \right) \in \left\{ {\left( {0;3;1;2} \right);\left( {0;3;1;5} \right);\left( {0;3;4;2} \right);\left( {0;3;4;5} \right);\left( {1;2;4;5} \right)} \right\}\).

\( \Rightarrow \) Có \(4\left( {4! - 3!} \right) + 4! = 96\) số.

Vậy có tất cả \(120 + 102 + 102 + 96 = 420\) số.

Chọn A.