Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật.

Sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất của diện tích.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(OD = OC = x.\)(x>0)

\( \Rightarrow AD = \sqrt {O{A^2} - O{D^2}}  = \sqrt {100 - {x^2}} \)

Ta có diện tích hình chữ nhật ABCD là \(S = AD.DC = 2x\sqrt {100 - {x^2}} \).

        \(\begin{array}{l}S' = 2\sqrt {100 - {x^2}}  + 2x.\frac{{ - 2x}}{{\sqrt {100 - {x^2}} }}\\S' = 0 \Leftrightarrow 100 - {x^2} = {x^2} \Leftrightarrow x = 2\sqrt 5 .\end{array}\)

Khi đó giá trị lớn nhất của S là \(S = 2.2\sqrt 5 .\sqrt {100 - {{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2}}  = 80c{m^2}\)

Chọn A.