Phương pháp giải:

Dựa vào đồ thị để tìm hàm số \(f\left( x \right)\).

Tìm đạo hàm của \(g\left( x \right)\).

Tìm giá trị lớn nhất của \(g\left( x \right)\) rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) nhận đường thẳng \(x = 1\) làm tiệm cận đứng và đường thẳng \(y = 0\) làm tiệm cận ngang; đồng thời đi qua điểm có tọa độ \(\left( {0;1} \right)\)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{d}{c} = 1\\\frac{a}{c} = 0\\\frac{b}{d} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b =  - c\\d =  - c\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{0.x - c}}{{cx - c}} = \frac{{ - 1}}{{x - 1}}\)

Ta có \(f\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{{x - 1}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0\)

Mặt khác \(g\left( x \right) = f\left( {f\left( x \right)} \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = f'\left( x \right).f'\left( {f\left( x \right)} \right)\)

Mà \(f'\left( u \right) > 0\)

Suy ra \(g'\left( x \right) > 0\) hay hàm số \(g\left( x \right)\) luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Nên giá trị lớn nhất của \(g\left( x \right)\) trên \(\left[ { - 3; - 1} \right]\) là \(g\left( { - 1} \right) = f\left( {f\left( { - 1} \right)} \right) = f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 2\).

Chọn B.