Câu hỏi
Khi sản xuất vỏ lon sữa hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ đó bằng 1\(d{m^2}\) và diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy của hình trụ phải bằng bao nhiêu ?
- A \(\dfrac{1}{{\sqrt \pi }}dm.\)
- B \(\dfrac{1}{{\sqrt[3]{\pi }}}dm.\)
- C \(\dfrac{1}{{\sqrt[3]{{2\pi }}}}dm.\)
- D \(\dfrac{1}{{\sqrt {2\pi } }}dm.\)
Phương pháp giải:
- Áp dụng công thức tính diện tích toàn phần của hình trụ và công thức tính thể tích hình trụ.
- Sử dụng BĐT Cô-si.
Lời giải chi tiết:
Gọi \(R,\,\,h\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao hình trụ.
Ta có \(V = \pi {R^2}h = 1 \Rightarrow h = \dfrac{1}{{\pi {R^2}}}\)
Mặt khác
\(\begin{array}{l}{S_{tp}} = 2\pi {R^2} + 2\pi Rh\\ \Rightarrow {S_{tp}} = 2\pi {R^2} + 2\pi R.\dfrac{1}{{\pi {R^2}}}\\ \Leftrightarrow {S_{tp}} = 2\pi {R^2} + \dfrac{2}{R} = 2\pi {R^2} + \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{R}\end{array}\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số \(2\pi {R^2},\,\,\dfrac{1}{R},\,\,\dfrac{1}{R}\) ta có:
\(2\pi {R^2} + \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{R} \ge 3\sqrt[3]{{2\pi {R^2}.\dfrac{1}{R}.\dfrac{1}{R}}} = 3\sqrt[3]{{2\pi }}\).
\( \Rightarrow {S_{tp}} \ge 3\sqrt[3]{{2\pi }}\).
\( \Rightarrow {S_{tp\,\,\min }} = 3\sqrt[3]{{2\pi }}\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 2\pi {R^2} = \dfrac{1}{R} \Leftrightarrow {R^3} = \dfrac{1}{{2\pi }} \Leftrightarrow R = \sqrt[3]{{\dfrac{1}{{2\pi }}}}\,\,\left( {dm} \right)\).
Chọn C.
Câu hỏi trước
