Phương pháp giải:

Lập phương trình đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(E,\,\,F.\)

Xét xem điểm \(A,\,\,B\) có nằm cùng phía với \(d\) hay không.

TH1: Nếu \(A,\,\,B\) nằm cùng phía với \(d\) ta làm như sau:

+) Suy ra tọa độ tổng quát của điểm \(M.\)

+) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: \(\left| {MA - MB} \right| \le AB \Leftrightarrow \left| {MA - MB} \right|\,\,\,Max = AB\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M \equiv {M_0}\) với  \(\left\{ {{M_0}} \right\} = AB \cap d.\)

\( \Rightarrow A,\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng hay \(d \cap AB = \left\{ M \right\}.\)

TH2: Nếu \(A,\,\,B\) nằm khác phía với \(d\) ta làm như sau:

+) Suy ra tọa độ tổng quát của điểm \(M.\)

+) Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(d.\)

+) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: \(\left| {MA' - MB} \right| \le A'B \Leftrightarrow \left| {MA - MB} \right| \le A'B\)

\( \Rightarrow \left| {MA + MB} \right|\,\,\,Max \Leftrightarrow \left| {MA' - MB} \right|{\kern 1pt} \,\,\,Max = A'B.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M \equiv {M_0}\,\,\,\,\,\left( {\left\{ {{M_0}} \right\} = A'B \cap d} \right).\)

\( \Rightarrow A',\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng hay \(d \cap A'B = \left\{ M \right\}.\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình đường thẳng \(d\)  đi qua \(E,\,\,F\) là: \(d:\,\,\frac{{x - 1}}{{0 - 1}} = \frac{{y - 0}}{{3 - 0}} \Leftrightarrow 3\left( {x - 1} \right) =  - y \Leftrightarrow 3x + y - 3 = 0.\)

Thay tọa độ điểm \(A,\,\,B\) vào biểu thức: \(f\left( {x;\,\,y} \right) = 3x + y - 3\) ta được:

\(\left( {3.3 + 4 - 3} \right)\left( {3.\left( { - 2} \right) + 1 - 3} \right) = 10.\left( { - 8} \right) =  - 80 < 0\)

\( \Rightarrow A,\,\,B\) nằm khác phía với đường thẳng \(d.\)

Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(d.\)

Phương trình đường thẳng \(AA'\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(d\) là:

\(x - 3 - 3\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3y + 9 = 0.\)

Gọi \(I\) là giao điểm của \(d\) và \(AA'.\) Khi đó \(I\) là trung điểm của\(AA'\) và tọa độ điểm \(I\) là nghiệm của hệ:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3x + y - 3 = 0\\x - 3y + 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {0;\,\,3} \right).\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_I} - {x_A} = 2.0 - 3 =  - 3\\{y_{A'}} = 2{y_I} - {y_A} = 2.3 - 4 = 2\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - 3;\,\,2} \right).\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: \(\left| {MA' - MB} \right| \le A'B \Leftrightarrow \left| {MA - MB} \right| \le A'B\)

\( \Rightarrow \left| {MA + MB} \right|\,\,\,Max \Leftrightarrow \left| {MA' - MB} \right|{\kern 1pt} \,\,\,Max = A'B.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M \equiv {M_0}\,\,\,\,\,\left( {\left\{ {{M_0}} \right\} = A'B \cap d} \right).\)

\( \Rightarrow A',\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng hay \(d \cap A'B = \left\{ M \right\}.\)

Phương trình đường thẳng \(A'B:\,\,\,\frac{{x + 3}}{{ - 2 + 3}} = \frac{{y - 2}}{{1 - 2}} \Leftrightarrow  - x - 3 = y - 2 \Leftrightarrow x + y + 1 = 0.\)

\( \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 1 = 0\\3x + y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2;\, - 3} \right).\)

Chọn  D.