Câu hỏi
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho hình chữ nhật \(ABCD\) có diện tích bằng \(12,\,\,I\left( {\frac{9}{2};\,\,\frac{3}{2}} \right)\) là giao điểm của hai đường chéo và \(M\left( {3;\,\,0} \right)\) là trung điểm cạnh \(AD.\) Tìm tọa độ đỉnh \(A\) của hình chữ nhật đã cho, biết đỉnh \(A\) có tung độ dương.
- A \(A\left( {2;\,\,1} \right).\)
- B \(A\left( {4;\,\,1} \right).\)
- C \(A\left( {2;\, - \,1} \right).\)
- D \(A\left( {1;\,\,4} \right).\)
Phương pháp giải:
+) Sử dụng tính chất trung điểm và tính chất đường trung bình của tam giác.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {IM} = \left( { - \frac{3}{2};\, - \frac{3}{2}} \right) = - \frac{3}{2}\left( {1;\,\,1} \right) \Rightarrow IM = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}.\)
Vì \(IM\) là đường trung bình của \(\Delta ADC \Rightarrow IM = \frac{1}{2}DC \Rightarrow DC = 2.IM = 3\sqrt 2 .\)
Lại có:
\(\begin{array}{l}{S_{ABCD}} = AD.CD = 12 \Leftrightarrow AD.3\sqrt 2 = 12\\ \Leftrightarrow AD = 2\sqrt 2 = 2AM \Rightarrow AM = \sqrt 2 .\end{array}\)
Đường thẳng \(AD\) đi qua \(M\) và vuông góc với \(IM\) nhận vetco \(\left( {1; - 1} \right)\) làm VTPT
\( \Rightarrow AD:\,\,\,x - 3 - y = 0 \Leftrightarrow x - y - 3 = 0.\)
Ta có: \(A \in AD \Rightarrow A\left( {a;\,\,a - 3} \right)\,\,\,\,\,\left( {a > 3} \right).\)
Lại có: \(AM = \sqrt 2 \Leftrightarrow A{M^2} = 2\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {3 - a} \right)^2} + {\left( {a - 3} \right)^2} = 2\\ \Leftrightarrow 2{\left( {a - 3} \right)^2} = 2\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 3} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a - 3 = 1\\a - 3 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 4\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\a = 2\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)
Vậy \(A\left( {4;\,\,1} \right).\)
Chọn B.