Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất đường phân giác trong tam giác để làm bài.

Lời giải chi tiết:

Ta có tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 4 = 0\\7x + y - 12 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 5\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {1;\,\,5} \right).\)

Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 4 = 0\\x + y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow B\left( { - 2;\,\,2} \right).\)

Tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}7x + y - 12 = 0\\x + y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {2; - 2} \right).\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;\, - 3} \right)\\\overrightarrow {AC}  = \left( {1;\,\, - 7} \right)\\\overrightarrow {BC}  = \left( {4; - 4} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = 3\sqrt 2 \\AC = 5\sqrt 2 \\BC = 4\sqrt 2 \end{array} \right..\)

Xét  \(\Delta ABC\) có các đường phân giác \(AD,\,\,BM\) như hình vẽ.

\( \Rightarrow I = AD \cap BM\) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC.\)

Áp dụng tính chất của tia phân giác trong tam giác ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{3\sqrt 2 }}{{5\sqrt 2 }} = \frac{3}{5}\\\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{MC}} = \frac{{3\sqrt 2 }}{{4\sqrt 2 }} = \frac{3}{4}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BD = \frac{3}{5}DC\\AM = \frac{3}{4}MC\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BD}  = \frac{3}{5}\overrightarrow {DC} \\\overrightarrow {AM}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {MC} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{x_D} + 2;\,\,{y_D} - 2} \right) = \frac{3}{5}\left( {2 - {x_D}; - 2 - {y_D}} \right)\\\left( {{x_M} - 1;\,\,{y_M} - 5} \right) = \frac{3}{4}\left( {2 - {x_M};\,\, - 2 - {y_M}} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} + 2 = \frac{6}{5} - \frac{3}{5}{x_D}\\{y_D} - 2 =  - \frac{6}{5} - \frac{3}{5}{y_D}\\{x_M} - 1 = \frac{6}{4} - \frac{3}{4}{x_M}\\{y_M} - 5 =  - \frac{6}{4} - \frac{3}{4}{y_M}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} =  - \frac{1}{2}\\{y_D} = \frac{1}{2}\\{x_M} = \frac{{10}}{7}\\{y_M} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}D\left( { - \frac{1}{2};\,\,\frac{1}{2}} \right)\\M\left( {\frac{{10}}{7};\,\,2} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Phương trình đường thẳng \(BM:\,\,\,y = 2.\) 

Phương trình đường thẳng \(AD:\,\,\,\frac{{x - 1}}{{ - \frac{1}{2} - 1}} = \frac{{y - 5}}{{\frac{1}{2} - 5}} \Leftrightarrow 9\left( {x - 1} \right) = 3\left( {y - 5} \right) \Leftrightarrow 3x - y + 2 = 0.\)

Khi đó tọa độ điểm \(I\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}y = 2\\3x - y + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {0;\,\,2} \right).\)

Chọn  A.