Phương pháp giải:

Xét xem điểm  có nằm cùng phía với \(d\) hay không.

TH1: Nếu \(A,\,\,B\) nằm cùng phía với \(d\) ta làm như sau:

+) \(M \in d \Rightarrow M\left( {4 - 2m;\,\,m} \right).\)

+) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: \(MA + MB \ge AB.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M \equiv {M_0}\) với  \(\left\{ {{M_0}} \right\} = AB \cap d.\)

\( \Rightarrow A,\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng hay \(d \cap AB = \left\{ M \right\}.\)

TH2: Nếu \(A,\,\,B\) nằm khác phía với \(d\) ta làm như sau:

+) \(M \in d \Rightarrow M\left( {4 - 2m;\,\,m} \right).\)

+) Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(d.\)

+) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: \(MA' + MB \ge A'B \Leftrightarrow MA + MB \ge A'B\)

\( \Rightarrow \left( {MA + MB} \right)\,\,\,Min \Leftrightarrow MA' + MB = A'B.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M \equiv {M_0}\,\,\,\,\,\left( {\left\{ {{M_0}} \right\} = A'B \cap d} \right).\)

\( \Rightarrow A',\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng hay \(d \cap A'B = \left\{ M \right\}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(M \in d \Rightarrow M\left( {4 - 2m;\,\,m} \right).\)

Thay tọa độ điểm \(A\left( {4;\,\,1} \right),\,\,B\left( {1;\,\, - 6} \right)\) vào biểu thức \(f\left( {x;\,\,y} \right) = 2x + y - 4\) ta được:

\(\left( {2.4 + 1 - 4} \right)\left( {2.1 - 6 - 4} \right) = 5.\left( { - 8} \right) =  - 40 < 0\)

\( \Rightarrow A,\,\,B\) nằm khác phía với đường thẳng \(d.\)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có: \(MA + MB \ge AB.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M \equiv {M_0}\) với  \(\left\{ {{M_0}} \right\} = AB \cap d.\)

Phương trình đường thẳng \(AB:\,\,\frac{{x - 4}}{{1 - 4}} = \frac{{y - 1}}{{ - 6 - 1}} \Leftrightarrow 7\left( {x - 4} \right) = 3\left( {y - 1} \right) \Leftrightarrow 7x - 3y - 25 = 0.\)

Khi đó tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình:  \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\7x - 3y - 25 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{37}}{{13}}\\y =  - \frac{{22}}{{13}}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{{37}}{{13}}; - \frac{{22}}{{13}}} \right).\)

Chọn C.