Phương pháp giải:

+) Số phức \(z = x + yi\,\,\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\) có mô đun \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \).

+) Sử dụng BĐT Bunhiacopxki với hai bộ số \(\left( {a;b} \right),\,\,\left( {x;y} \right)\) ta có \({\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)

+) Dấu “=” xảy ra khi \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi số phức \(z = x + yi\,\,\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\)

Theo đề bài \(\left| {z + 1} \right| = \sqrt 3  \Leftrightarrow \left| {x + 1 + yi} \right| = \sqrt 3  \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 3\)

Ta có \(T = \left| {z + 4 - i} \right| + \left| {z - 2 + i} \right| = \left| {x + 4 + \left( {y - 1} \right)i} \right| + \left| {x - 2 + \left( {y + 1} \right)i} \right|\)

\( = \sqrt {{{\left( {x + 4} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

 \({T^2} = {\left( {\sqrt {{{\left( {x + 4} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} } \right)^2}\) \( \le \left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left[ {{{\left( {x + 4} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2} + {{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \right]\)

\({T^2} \le 2\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 4x + 22} \right) = 4\left( {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {y^2} + 10} \right) = 52\) (vì \({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 3\))

Từ đó \(T \le 2\sqrt {13} \)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2}\\{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3x + 3\\{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {3x + 3} \right)^2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }}\\y = \dfrac{9}{{\sqrt {10} }} + 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{3}{{\sqrt {10} }}\\y =  - \dfrac{9}{{\sqrt {10} }} + 3\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy \({T_{\max }} = 2\sqrt {13} .\)

Chọn B.