Phương pháp giải:

Sử dụng phương trình đường tròn để tìm giá trị lớn nhất của \(P.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(x,y\) là hai số thực thỏa mãn \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\)

\( \Rightarrow \left( {x;y} \right)\)  là tọa độ điểm thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(A\left( {1;1} \right)\) bán kính \(R = 2\)

Mặt khác để \(P = \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y - 5} \right)}^2}} \) đạt giá trị lớn nhất \( \Leftrightarrow \left( {x;y} \right)\)  cũng là điểm thuộc đường tròn \(\left( {C'} \right)\) tâm \(I\left( {3;5} \right)\) sao cho bán kính \(R' = P = \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y - 5} \right)}^2}} \)  lớn nhất.

Gọi \(\left( C \right)\) giao tia đối của tia AI tại B

Ta có \(IA = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}}  = \sqrt {20}  = 2\sqrt 5  > R\)

\( \Rightarrow \) I nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right)\)

\( \Rightarrow \) Để thỏa mãn đề bài \( \Leftrightarrow R' = IB\)

\( \Leftrightarrow P = IA + AB = 2\sqrt 5  + 2 = 2\left( {\sqrt 5  + 1} \right)\)

Chọn D.