Phương pháp giải:

+) Gọi \(AD\,\,\,\left( {D \in BC} \right)\) là đường phân giác từ đỉnh \(A\) của \(\Delta ABC.\)

+) Áp dụng định lý đường phân giác của \(\Delta ABC\) ta có: \(\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{AC}} \Leftrightarrow \frac{{\overrightarrow {DB} }}{{AB}} = \frac{{\overrightarrow {CD} }}{{AC}}\)  để tìm tọa độ điểm \(D.\)

+) Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(A\) và \(D.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3;\,6} \right) \Rightarrow AB = 3\sqrt 5 ;\,\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {4;\,\,2} \right) \Rightarrow AC = 2\sqrt 5 .\)

Gọi \(AD\,\,\,\left( {D \in BC} \right)\) là đường phân giác từ đỉnh \(A\) của \(\Delta ABC.\)

Gọi \(D\left( {a;\,\,b} \right).\)

Áp dụng định lý đường phân giác của \(\Delta ABC\) ta có: \(\dfrac{{DB}}{{AB}} = \dfrac{{DC}}{{AC}} \Leftrightarrow \dfrac{{\overrightarrow {DB} }}{{AB}} = \dfrac{{\overrightarrow {CD} }}{{AC}}\) 

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {5 - a;\,\,5 - b} \right)}}{{3\sqrt 5 }} = \dfrac{{\left( {a - 6;\,\,b - 1} \right)}}{{2\sqrt 5 }}\\ \Leftrightarrow 2\sqrt 5 \left( {5 - a;\,\,5 - b} \right) = 3\sqrt 5 \left( { a-6;\,\, b-1} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {5 - a} \right) = 3\left( {a - 6} \right)\\2\left( {5 - b} \right) = 3\left( {b - 1} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10 - 2a = 3a - 18\\10 - 2b = 3b - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{{28}}{5}\\b =  \dfrac{{13}}{5}\end{array} \right.  \Rightarrow D\left( {\dfrac{{28}}{5};\dfrac{{13}}{5}} \right) \\  \Rightarrow \overrightarrow {AD}  = \left( {\dfrac{{18}}{5};\dfrac{{18}}{5}} \right) = \dfrac{{18}}{5}\left( {1;1} \right).\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(AD\) nhận vecto \(\left( {1;\,\,-1} \right)\) làm VTPT.

\( \Rightarrow AD:\,\,x - 2 - y - 1 = 0 \Leftrightarrow x - y - 3 = 0.\)

Chọn  D.