Phương pháp giải:

Phương trình \(ax + by + c = 0\) là phương trình của đường thẳng  \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} > 0.\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình đã cho là phương trình của một đường thẳng \( \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + {\left( {m - 3} \right)^2} > 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 + {m^2} - 6m + 9 > 0\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 8m + 10 > 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {{m^2} - 4m} \right) + 10 > 0\\ \Leftrightarrow 2{\left( {m - 2} \right)^2} - 8 + 10 > 0\\ \Leftrightarrow 2{\left( {m - 2} \right)^2} + 2 > 0\,\,\forall m.\end{array}\)

Vậy với mọi \(m \in \mathbb{R}\) thỏa mãn bài toán.

Chọn  A.