Cách xác định vecto pháp tuyến từ cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng - Toán 12

Nếu vecto \(\overrightarrow n  \ne \overrightarrow 0 \) và có giá vuông góc với \(\left( \alpha  \right)\) thì \(\overrightarrow n \) được gọi là vecto pháp tuyến của \(\left( \alpha  \right)\).

Nếu hai vecto \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) không cùng phương, có giá song song hoặc nằm trong \(\left( \alpha  \right)\) thì \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) được gọi là cặp vecto chỉ phương của \(\left( \alpha  \right)\).

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P).

Vecto pháp tuyến của (P) có giá vuông góc với (P).

Cặp vecto chỉ phương của (P) không cùng phương và có giá song song hoặc trùng với (P).

Giả sử \(\overrightarrow u  = (a;b;c)\) và \(\overrightarrow v  = (a';b';c')\) là cặp vecto chỉ phương của (P).

Ta có \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) là một vecto pháp tuyến của (P).

\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}b&c\\{b'}&{c'}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}c&a\\{c'}&{a'}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\{a'}&{b'}\end{array}} \right|} \right)\)

\( = \left( {bc' - b'c;ca' - c'a;ab' - a'b} \right)\).

Ví dụ minh hoạ:

Cho mặt phẳng \(\left( Q \right)\) nhận \(\vec a{\rm{\;}} = \left( {4;0;1} \right)\), \(\vec b{\rm{\;}} = \left( {2;1;1} \right)\) làm cặp vecto chỉ phương. Tìm một vecto pháp tuyến của \(\left( Q \right)\).

Giải:

Ta có: \(\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {0.1 - 1.1;1.2 - 4.1;4.1 - 0.2} \right) = \left( { - 1; - 2;4} \right)\).

Vậy \(\vec n{\rm{\;}} = \left( { - 1; - 2;4} \right)\) là một vecto pháp tuyến của \(\left( Q \right)\).