Cách lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vecto chỉ phương - Toán 12

Nếu hai vecto \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) không cùng phương, có giá song song hoặc nằm trong \(\left( \alpha  \right)\) thì \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) được gọi là cặp vecto chỉ phương của \(\left( \alpha  \right)\).

Trong không gian Oxyz, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.

Mỗi phương trình Ax + By + Cz + D = 0 (A, B, C không đồng thời bằng 0) đều xác định một mặt phẳng nhận \(\overrightarrow n  = (A;B;C)\) làm vecto pháp tuyến.

Cho mặt phẳng có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 . Khi đó \(N({x_0};{y_0};{z_0}) \in (\alpha ) \Leftrightarrow A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0\).

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có cặp vecto chỉ phương \(\overrightarrow u  = (a;b;c)\) và \(\overrightarrow v  = (a';b';c')\).

Để lập phương trình mặt phẳng (P):

B1: Tìm vecto pháp tuyến của (P):

\(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}b&c\\{b'}&{c'}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}c&a\\{c'}&{a'}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\{a'}&{b'}\end{array}} \right|} \right) = \left( {bc' - b'c;ca' - c'a;ab' - a'b} \right) = (A;B;C)\).

B2: Viết phương trình \(\left( \alpha  \right)\) đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (A;B;C)\):

\(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)

hay \(Ax + By + Cz + D = 0\) với \(D =  - A{x_0} - B{y_0} - C{z_0}\).

Ví dụ minh hoạ:

Cho mặt phẳng \(\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)\) đi qua điểm M(0; 0; −1), có cặp vecto chỉ phương là \(\vec a = \left( { - 1;2; - 3} \right)\) và \(\vec b = \left( {3;0;5} \right)\). Lập phương trình của mặt phẳng \(\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)\).

Giải:

* Xác định vecto pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\):

\(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = (2.5 - ( - 3).0;( - 3).3 - ( - 1).5;( - 1).0 - 2.3) = (10; - 4; - 6)\).

* Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\):

\(10(x - 0) - 4(y - 0) - 6(z + 1) = 0\)

\(10x - 4y - 6z - 6 = 0\)

\(5x - 2y - 3z - 3 = 0\).