Cách lập phương trình mặt phẳng chứa hai điểm và vuông góc với mặt phẳng cho trước - Toán 12

Trong không gian Oxyz, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.

Mỗi phương trình Ax + By + Cz + D = 0 (A, B, C không đồng thời bằng 0) đều xác định một mặt phẳng nhận \(\overrightarrow n  = (A;B;C)\) làm vecto pháp tuyến.

Cho mặt phẳng có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 . Khi đó \(N({x_0};{y_0};{z_0}) \in (\alpha ) \Leftrightarrow A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0\).

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) và hai điểm A, B.

Để lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa A, B và vuông góc với (P), ta thực hiện:

Bước 1: Xác định vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} \) của (P) và \(\overrightarrow {AB} \).

Bước 2: Tìm vecto pháp tuyến của (Q) bằng cách tính tích có hướng: \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {AB} } \right]\).

Bước 3: Lập phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A (hoặc B), nhận \(\overrightarrow {{n_Q}} \) làm vecto pháp tuyến.

Ví dụ minh hoạ:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 1 = 0 và hai điểm A(1;0;-2), B(-1;-1;3). Lập phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).

Giải:

Gọi với \(\overrightarrow {{n_P}} \),  \(\overrightarrow {{n_Q}} \) lần lượt là vecto pháp tuyến của (P) và (Q).

Mặt phẳng (P) có một vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} {\rm{\;}} = (2; - 1;2)\).

Ta có: A(1;0;-2), B(-1;-1;3) suy ra \(\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} = ( - 2; - 1;5)\).

\(\overrightarrow {{n_Q}} {\rm{\;}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = ( - 3; - 14; - 4)\).

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_Q}} {\rm{\;}} = ( - 3; - 14; - 4)\) và đi qua A(1;0;-2) nên phương trình của (Q) là \( - 3(x - 1) - 14(y - 0) - 4(z + 2) = 0 \Leftrightarrow 3x + 14y + 4z + 5 = 0\).