Cách xác định điểm thuộc và không thuộc đường thẳng trong không gian - Toán 12

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2};{a_3})\). Hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + {a_1}t\\y = {y_0} + {a_2}t\\z = {z_0} + {a_3}t\end{array} \right.\)

được gọi là phương trình tham số của đường thẳng d (t là tham số, \(t \in R\)).

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2};{a_3})\) với \({a_1}\), \({a_2}\), \({a_3}\) đều khác 0.

Hệ phương trình

\(\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}}\)

được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng d.

* Đối với phương trình chính tắc của đường thẳng:

Bước 1: Thay toạ độ điểm đã cho vào x, y, z của phương trình chính tắc của đường thẳng.

Bước 2: Nếu các vế của phương trình bằng nhau thì điểm thuộc đường thẳng và ngược lại.

* Đối với phương trình tham số của đường thẳng:

Bước 1: Thay toạ độ điểm đã cho vào x, y, z của phương trình tham số của đường thẳng.

Bước 2: Nếu tìm được một giá trị t thoả mãn hệ thì điểm thuộc đường thẳng và ngược lại.

Ví dụ minh hoạ:

1) Trong không gian Oxyz, đường thẳng d có phương trình \(\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 4}}\). Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d?

A. Q(-2;-4;7)

B. N(4;0;-1)

C. M(1;-2;3)

D. P(7;2;1)

Giải:

Thay toạ độ điểm Q vào phương trình:

\(\frac{{ - 2 - 1}}{3} =  - 1\); \(\frac{{ - 4 + 2}}{2} =  - 1\); \(\frac{{7 - 3}}{{ - 4}} =  - 1\).

Do đó Q thuộc đường thẳng.

Thay toạ độ điểm N vào phương trình:

\(\frac{{4 - 1}}{3} = 1\); \(\frac{{0 + 2}}{2} = 1\); \(\frac{{ - 1 - 3}}{{ - 4}} = 1\).

Do đó N thuộc đường thẳng.

Thay toạ độ điểm M vào phương trình:

\(\frac{{1 - 1}}{3} = 0\); \(\frac{{ - 2 + 2}}{2} = 0\); \(\frac{{3 - 3}}{{ - 4}} = 0\).

Do đó M thuộc đường thẳng.

Thay toạ độ điểm P vào phương trình:

\(\frac{{7 - 1}}{3} = 2\); \(\frac{{2 + 2}}{2} = 2\); \(\frac{{1 - 3}}{{ - 4}} = \frac{1}{2}\).

Do đó P không thuộc đường thẳng.

Đáp án: D.

2) Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 2t}\\{y = 1 - 3t}\\{z = {\rm{\;}} - 1 + t}\end{array}} \right.\)?

Giải:

A. \({M_1}\left( {3;1; - 1} \right)\)

B. \({M_2}\left( {2; - 3;1} \right)\)

C. \({M_3}\left( {1;3; - 1} \right)\)

D. \({M_4}\left( { - 3; - 1;1} \right)\)

Giải:

Thay toạ độ điểm \({M_1}\left( {3;1; - 1} \right)\) vào phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 = 3 + 2t}\\{1 = 1 - 3t}\\{ - 1 =  - 1 + t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow t = 0\).

Vì t = 0 thoả mãn hệ nên \({M_1}\left( {3;1; - 1} \right)\) thuộc d.

Thay toạ độ điểm \({M_2}\left( {2; - 3;1} \right)\) vào phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 = 3 + 2t}\\{ - 3 = 1 - 3t}\\{1 =  - 1 + t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - \frac{1}{2}\\t = \frac{4}{3}\\t = 2\end{array} \right.\) (vô lí vì t không thể cùng lúc nhận 3 giá trị).

Vì không có t thoả mãn hệ nên \({M_2}\left( {2; - 3;1} \right)\) không thuộc d.

Thay toạ độ điểm \({M_3}\left( {1;3; - 1} \right)\) vào phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 = 3 + 2t}\\{3 = 1 - 3t}\\{ - 1 =  - 1 + t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 1\\t =  - \frac{2}{3}\\t = 0\end{array} \right.\) (vô lí vì t không thể cùng lúc nhận 3 giá trị).

Vì không có t thoả mãn hệ nên \({M_3}\left( {1;3; - 1} \right)\) không thuộc d.

Thay toạ độ điểm \({M_4}\left( { - 3; - 1;1} \right)\) vào phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3 = 3 + 2t}\\{ - 1 = 1 - 3t}\\{1 =  - 1 + t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 3\\t = \frac{2}{3}\\t = 2\end{array} \right.\) (vô lí vì t không thể cùng lúc nhận 3 giá trị).

Vì không có t thoả mãn hệ nên \({M_4}\left( { - 3; - 1;1} \right)\) không thuộc d.

Đáp án: A.