Cách xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian - Toán 12

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:

d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + {a_1}t\\y = {y_0} + {a_2}t\\z = {z_0} + {a_3}t\end{array} \right.\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2};{a_3})\);

d’: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0}' + {a_1}'t'\\y = {y_0}' + {a_2}'t'\\z = {z_0}' + {a_3}'t'\end{array} \right.\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {a'}  = ({a_1}';{a_2}';{a_3}')\).

Điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0}) \in d\).

Ta có:

+ d // d’ khi và chỉ khi \(\overrightarrow a \) cùng phương với \(\overrightarrow {a'} \) và \({M_0} \notin d'\).

+ d trùng d’ khi và chỉ khi \(\overrightarrow a \) cùng phương với \(\overrightarrow {a'} \) và \({M_0} \in d'\).

+ d cắt d’ khi và chỉ hệ phương trình ẩn t, t’ sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} + {a_1}t = {x_0}' + {a_1}'t'\\{y_0} + {a_2}t = {y_0}' + {a_2}'t'\\{z_0} + {a_3}t = {z_0}' + {a_3}'t'\end{array} \right.\) có đúng một nghiệm.

+ d và d’ chéo nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow a \) không cùng phương với \(\overrightarrow {a'} \) và hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} + {a_1}t = {x_0}' + {a_1}'t'\\{y_0} + {a_2}t = {y_0}' + {a_2}'t'\\{z_0} + {a_3}t = {z_0}' + {a_3}'t'\end{array} \right.\) vô nghiệm.

Lưu ý:

- Khi xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, người ta thường xét tính cùng phương của hai vecto chỉ phương của hai đường thẳng đó:

+ Nếu hai vecto chỉ phương cùng phương thì hai đường thẳng đó song song hoặc trùng nhau.

+ Nếu hai vecto chỉ phương không cùng phương thì hai đường thẳng đó cắt nhau hoặc chéo nhau.

- Ta có thể sử dụng tích có hướng và tích vô hướng để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng. Chẳng hạn: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M, có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a \) và đường thẳng d′ đi qua điểm M′, có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {a'} \). Khi \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right] \ne \overrightarrow 0 \):

+ Nếu \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right].\overrightarrow {MM'}  = 0\) thì d và d′ cắt nhau.

+ Nếu \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right].\overrightarrow {MM'}  \ne 0\) thì d và d′ chéo nhau.

Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

a) d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2t\\z = 3 - t\end{array} \right.\) \((t \in R)\) hay d’:  \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t'\\y = 3 + 4t'\\z = 5 - 2t'\end{array} \right.\) \((t' \in R)\).

b) d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 1 + 3t\\z = 5 + t\end{array} \right.\) \((t \in R)\) hay d’: \(\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{2}\).

c) d: \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\) và d’: \(\frac{{x - 1}}{5} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}\).

Giải:

a) Ta có các vecto chỉ phương của d và d′ lần lượt là \(\overrightarrow a  = (1;2; - 1)\) và \(\overrightarrow {a'}  = (2;4; - 2)\).

Vì \(\overrightarrow {a'}  = 2\overrightarrow a \) nên \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {a'} \) cùng phương. Từ đó suy ra d và d′ song song với nhau hoặc trùng nhau.

Xét điểm \(M\left( {1;0;3} \right) \in d\), ta có \(M \notin d'\) nên d//d′.

b) Ta có d và d′ lần lượt nhận \(\overrightarrow a  = \left( {2;3;1} \right)\;\) và \(\overrightarrow {a'}  = \left( {3;2;2} \right)\;\) là các vecto chỉ phương.

Vì \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {a'} \) không cùng phương nên d và d′ cắt nhau hoặc chéo nhau.

Có d′ đi qua M(1;2;−1) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {a'}  = \left( {3;2;2} \right)\;\) nên có phương trình tham số là d’: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t'\\y =  - 2 + 2t'\\z =  - 1 + 2t'\end{array} \right.\) \((t' \in R)\).

Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}1 + 2t = 1 + 3t'\\ - 1 + 3t =  - 2 + 2t'\\5 + t =  - 1 + 2t'\end{array} \right.\) ta không tìm được giá trị t, t’ thoả mãn cả ba phương trình của hệ. Ta suy ra hệ trên vô nghiệm.

Vậy d và d’ chéo nhau.

c) Ta có: d đi qua M(0;1;0) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a  = \left( {1; - 1;2} \right)\).

d′ đi qua M′(1;2;−2) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {a'}  = (5;1; - 2)\).

Nên phương trình tham số của d và d′ lần lượt là:

d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array} \right.\) \((t \in R)\) và d’: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 5t'\\y = 2 + t'\\z =  - 2 - 2t'\end{array} \right.\) \((t' \in R)\).

Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}t = 1 + 5t'\\1 - t = 2 + t'\\2t =  - 2 - 2t'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t - 5t' = 1\\ - t - t' = 2\\2t + 2t' =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - \frac{2}{3}\\t' =  - \frac{1}{3}\end{array} \right.\).

Hệ phương trình trên có đúng một nghiệm, nên d và d’ cắt nhau.