Cách lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và song song với mặt phẳng cho trước - Toán 12

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình:

(P): Ax + By + Cz + D = 0, \({A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\).

(Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0, \(A{'^2} + B{'^2} + C{'^2} \ne 0\).

(P) và (Q) song song khi \(\frac{A}{{A'}} = \frac{B}{{B'}} = \frac{C}{{C'}} \ne \frac{D}{{D'}}\).

Trong hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): \({A_0}x + {B_0}y + {C_0}z + {D_0} = 0\) và điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\).

Để lập phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) song song với (P) và đi qua M, ta thực hiện:

Bước 1: Viết phương trình của \(\left( \alpha  \right)\) có dạng \({A_0}x + {B_0}y + {C_0}z + D = 0\).

Bước 2: Thay toạ độ điểm M vào phương trình của \(\left( \alpha  \right)\), tìm D.

Bước 3: Kết luận phương trình của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

Ví dụ minh hoạ:

Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm K(4;-3;7) và song song với mặt phẳng (Q): 3x – 2y + 4z + 7 = 0.

Giải:

Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng 3x – 2y + 4z + D = 0.

Mặt khác, K(4;-3;7) thuộc (P) nên \(3.4 - 2.( - 3) + 4.7 + D = 0 \Leftrightarrow D = 46\).

Vậy (P): 3x – 2y + 4z – 46 = 0.