Cách lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết vecto pháp tuyến - Toán 12

Nếu vecto \(\overrightarrow n  \ne \overrightarrow 0 \) và có giá vuông góc với \(\left( \alpha  \right)\) thì \(\overrightarrow n \) được gọi là vecto pháp tuyến của \(\left( \alpha  \right)\).

Trong không gian Oxyz, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.

Mỗi phương trình Ax + By + Cz + D = 0 (A, B, C không đồng thời bằng 0) đều xác định một mặt phẳng nhận \(\overrightarrow n  = (A;B;C)\) làm vecto pháp tuyến.

Cho mặt phẳng có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 . Khi đó \(N({x_0};{y_0};{z_0}) \in (\alpha ) \Leftrightarrow A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0\).

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (A;B;C)\) là:

\(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)

hay \(Ax + By + Cz + D = 0\) với \(D =  - A{x_0} - B{y_0} - C{z_0}\).

Ví dụ minh hoạ:

1) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(0;-1;4) và có một vecto pháp tuyến \(\vec n{\rm{\;}} = (2;2; - 1)\) là \(2x + 2(y + 1) - (z - 4) = 0 \Leftrightarrow 2x + 2y - z + 6 = 0\).

2) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {1;2; - 3} \right)\) và có vecto pháp tuyến \(\vec n = \left( {1; - 2;3} \right)\) là \(1\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 2} \right) + 3\left( {z + 3} \right) = 0\), hay \(x - 2y + 3z + 12 = 0\).