Cách tính thể tích vật thể ứng dụng tích phân - Toán 12

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;b] thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x).

\(\int\limits_a^b {f(x)dx}  = F(x)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^b}\\{_a}\end{array}} \right. = F(b) - F(a)\).

Trong đó:

+ \(\int\limits_a^b {} \) là dấu tích phân.

+ a và b là cận tích phân (a là cận dưới, b là cận trên).

+ f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân.

+ f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

Lưu ý:

+ \(\int\limits_a^a {f(x)dx}  = 0\);

+ \(\int\limits_a^b {f(x)dx}  =  - \int\limits_b^a {f(x)dx} \);

Cho một vật thể trong không gian Oxyz. Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm có hoành độ x = a, x = b. Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x \((a \le x \le b)\) thì phần chung giữa mặt phẳng và vật thể có diện tích S(x). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Khi đó thể tích V của vật thể B được tính bởi công thức

\(V = \int\limits_a^b {S(x)dx} \)

Ví dụ minh hoạ:

Hãy sử dụng tích phân tính thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy bằng S (không đổi) và chiều cao h.

Giải:

Chọn trục Ox song song với đường cao của khối lăng trụ, hai đáy nằm trong mặt phẳng vuông góc với Ox tại x = 0, x = h.

Khi cắt khối lăng trụ bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x \((a \le x \le b)\), thì phần chung giữa mặt phẳng và khối lăng trụ là một hình phẳng có diện tích\(S(x) = S\) không đổi.

Thể tích khối lăng trụ là:

\(V = \int\limits_0^h {S(x)dx}  = \int\limits_0^h {Sdx}  = (Sx)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^h}\\{_0}\end{array}} \right. = Sh\) (đvdt).