Từ điển Toán 12 | Các dạng bài tập Toán 12 Ứng dụng hình học của tích phân - Từ điển Toán 12

Cách tính thể tích khối tròn xoay ứng dụng tích phân - Toán 12

1. Khái niệm tích phân

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;b] thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x).

\(\int\limits_a^b {f(x)dx}  = F(x)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^b}\\{_a}\end{array}} \right. = F(b) - F(a)\).

Trong đó:

+ \(\int\limits_a^b {} \) là dấu tích phân.

+ a và b là cận tích phân (a là cận dưới, b là cận trên).

+ f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân.

+ f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

Lưu ý:

+ \(\int\limits_a^a {f(x)dx}  = 0\);

+ \(\int\limits_a^b {f(x)dx}  =  - \int\limits_b^a {f(x)dx} \);

2. Công thức tính thể tích khối tròn xoay ứng dụng tích phân

a) Khối tròn xoay quanh trục Ox

Cho hàm số f(x), g(x) liên tục, không âm trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox là

\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} \)

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox là

\(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \right|dx} \)

b) Khối tròn xoay quanh trục Oy

Cho hàm số f(x), g(x) liên tục với mọi \(y \in [c,d]\).

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = f(y), trục tung và hai đường thẳng y = c, y = d quanh trục Oy là

\(V = \pi \int\limits_c^d {{f^2}(y)dy} \)

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = f(y), x = g(y) và hai đường thẳng y = c, y = d quanh trục Oy là

\(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}(y) - {g^2}(y)} \right|dy} \)

Ví dụ minh hoạ:

1) Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng quay quanh trục hoành \(y = {x^2} - 2x\), y = 0, x = 2.

Giải:

Thể tích khối tròn xoay là:

\(V = \pi \int\limits_0^2 {{{({x^2} - 2x)}^2}dx}  = \pi \int\limits_0^2 {({x^4} - 4{x^3} + 4{x^2})dx} \)

\( = \pi \left( {\frac{{{x^5}}}{5} - {x^4} + \frac{4}{3}{x^3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2\\0\end{array}} \right. = \frac{{16\pi }}{{15}}\) (đvdt).

2) Hình vẽ mô phòng phần bên trong của một chậu cây có dạng khối tròn xoay tạo thành khi quay một phần của đồ thị hàm số \(y = \sqrt x  + \frac{3}{2}\)​ với \(0 \le x \le 4\) quanh trục hoành. Tính thể tích phần bên trong (dung tích) của chậu cây, biết đơn vị trên các trục Ox, Oy là decimét.

Giải:

Thể tích phần trong của chậu cây là:

\(V = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {\sqrt x  + \frac{3}{2}} \right)}^2}dx}  = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {x + 3{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{9}{4}} \right)}^2}dx}  = \pi \left( {\frac{{{x^2}}}{2} + 2{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{9}{4}x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4\\0\end{array}} \right. = 33\pi \) (\(d{m^3}\)).

3. Bài tập vận dụng