Cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song - Toán 11

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P), (Q) là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia, kí hiệu \(d\left( {(P),(Q)} \right)\).

Trong hình, ta có \(d\left( {(P),(Q)} \right) = IK = h\) với \(I \in (P)\), \(K \in (Q)\), \(IK \bot (P)\), \(IK \bot (Q)\) và (P) // (Q).

Để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P), (Q), ta thực hiện:

B1: Lấy một điểm I bất kì thuộc (P).

B2: Xác định hình chiếu vuông góc K của I trên (Q).

B3: Khi đó \(d\left( {(P),(Q)} \right) = IK = h\). Tính IK.

Ví dụ minh hoạ:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh bằng a và đáy là hình vuông. Hình chiếu của A' trên mặt phẳng (ABCD) là giao điểm H của AC và BD. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (A'B'C'D')

Giải:

Vì H là trung điểm của AC nên \(AH = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Do \(A'H \bot (ABCD)\) và \(AH \subset (ABCD)\) nên \(A'H \bot AH\).

Xét tam giác AA'H vuông tại H có:

\(A'{H^2} = A'{A^2} - A{H^2} = {a^2} - {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{2}\).

Suy ra \(A'H = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (A'B'C'D') bằng \(A'H = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).