Cách lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với mặt phẳng - Toán 12

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0 và điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua M và vuông góc với (P).

Khi đó, vecto chỉ phương của \(\Delta \) cũng là vecto pháp tuyến của (P).

+ Phương trình chính tắc của \(\Delta \): \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\) \(\left( {abc \ne 0} \right)\).

+ Phương trình tham số của \(\Delta \): \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).

1) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + z – 1 = 0 và điểm M(1;1;2). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P).

Giải:

Đường thẳng d vuông góc với (P) nên vecto pháp tuyến của (P) \(\vec n= (1; - 2;1)\) cũng là vecto chỉ phương của d.

Đường thẳng d có vecto chỉ phương \(\vec n = (1; - 2;1)\) và đi qua M(1;1;2) có phương trình chính tắc là \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{1}\).

2) Trong không gian Oxy, cho mặt phẳng \(\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)\): x + 2y – 2z + 3 = 0. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(2;1;-5) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)\).

Giải:

Vì đường thẳng vuông góc với \(\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)\) nên vecto pháp tuyến của \(\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)\) là một vecto chỉ phương của đường thẳng.

Phương trình đường thẳng nhận \(\vec u = (1;2; - 2)\) làm vecto chỉ phương và đi qua điểm A(2;1;-5) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = - 5 - 2t}\end{array}} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).