Cách biểu diễn logarit theo các logarit cho trước - Toán 11

Ta thực hiện các bước sau:

B1: Biến đổi các biểu thức logarit phụ thuộc vào tham số a và b.

B2: Đặt các biểu thức logarit của các số nguyên tố là các ẩn x, y, z. Từ đó ta thu được phương trình hoặc hệ phương trình với các ẩn x, y, z. Ta tìm các ẩn này theo a, b.

B3: Giải hệ tìm được x, y, z,… theo a, b. Từ đó tính được biểu thức theo các tham số a, b.

1) Cho \(a = {\log _2}14\). Biểu diễn \({\log _{49}}16\) theo a.

Giải:

\({\log _{49}}16 = {\log _{{7^2}}}{2^4} = 2{\log _7}2 = \frac{2}{{{{\log }_2}7}} = \frac{2}{{{{\log }_2}\frac{{14}}{2}}} = \frac{2}{{{{\log }_2}14 - {{\log }_2}2}} = \frac{2}{{a - 1}}\).

2) Tính \(M = {\log _4}1250\) theo a biết \(a = {\log _2}5\).

Giải:

\(M = {\log _4}1250 = \frac{1}{2}{\log _2}({5^4}.2) = \frac{1}{2}(4{\log _2}5 + 1) = \frac{1}{2} + 2a\).

3) Đặt \(a = {\log _2}3\) và \(b = {\log _5}3\). Hãy biểu diễn \({\log _6}25\) theo a và b.

Giải:

\({\log _6}45 = \frac{{{{\log }_3}({{5.3}^2})}}{{{{\log }_3}(2.3)}} = \frac{{{{\log }_3}5 + 2}}{{{{\log }_3}2 + {{\log }_3}3}} = \frac{{\frac{1}{b} + 2}}{{\frac{1}{a} + 1}} = \frac{{a + 2ab}}{{ab + b}}\).

4) Cho \({\log _3}2 = a\) và \({\log _3}5 = b\). Tính \({\log _{10}}60\) theo \(a\) và \(b\).

Giải:

\({\log _{10}}60 = \frac{{{{\log }_3}60}}{{{{\log }_3}10}} = \frac{{{{\log }_3}(4 \cdot 3 \cdot 5)}}{{{{\log }_3}(2 \cdot 5)}} = \frac{{2{{\log }_3}2 + {{\log }_3}5 + 1}}{{{{\log }_3}2 + {{\log }_3}5}} = \frac{{2a + b + 1}}{{a + b}}\).

5) Cho \(a = {\log _5}18\) và \(b = {\log _5}60\). Tính \({\log _3}2\) theo \(a\) và \(b\).

Giải:

Dầu tiên ta có hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = {{\log }_5}18 = {{\log }_5}2 + 2{{\log }_5}3}\\{b = {{\log }_5}60 = 2{{\log }_5}2 + {{\log }_5}3 + 1}\end{array}} \right.\)

Đặt \(x = {\log _5}2\) và \(y = {\log _5}3\) từ đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y = a}\\{2x + y = b - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {{\log }_5}2 = \frac{{ - a + 2b - 2}}{3}}\\{y = {{\log }_5}3 = \frac{{2a - b + 1}}{3}}\end{array}} \right.\)

Nên \({\log _3}2 = \frac{{{{\log }_5}2}}{{{{\log }_5}3}} = \frac{{ - a + 2b - 2}}{{2a - b + 1}}\).