Các bài toán tính độ dài, diện tích liên quan đến vị trí tương đối của hai đường tròn - Toán 9

Để làm dạng bài tập này, ta sử dụng kết hợp các kiến thức:

- Tính chất của tiếp tuyến

- Định lí về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, hai đường tròn.

- Định lí Pythagore, hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Nếu đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau thì đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường tròn, điểm chung được gọi là tiếp điểm.

Điểm chung H của đường thẳng và đường tròn tiếp xúc với nhau goi là tiếp điểm.

Khi đó đường thẳng a còn gọi là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại H.

Đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O) tại H thì \(OH \bot a\).

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
• Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
• Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
• Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

Ví dụ: Cho đường tròn (O), B, C \( \in \) (O). Tiếp tuyến của (O) tại B và C cắt nhau tại A.

Khi đó:

- AB = AC

- Tia AO là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).

- Tia OA là tia phân giác của \(\widehat {BOC}\).

Chú ý:
• Đường nối tâm (đường thẳng đi qua tâm 2 đường tròn) là trục đối xứng của hình tạo bởi hai đường tròn.
• Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.
• Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là đường trung trực của dây chung.

Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề.

Cạnh góc vuông = (cạnh huyền ) × (sin góc đối)

= (cạnh huyền ) × (cosin góc kề)

Ví dụ:

Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:

\(\begin{array}{l}b = a.\sin B = a.\cos C;\\c = a.\sin C = a.\cos B.\end{array}\)

Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc côtang góc kề.

Cạnh góc vuông = (cạnh góc vuông còn lại ) × (tan góc đối) 

= (cạnh góc vuông còn lại ) × (cot góc kề)

Ví dụ:

Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:

\(\begin{array}{l}b = c.\tan B = c.\cot C;\\c = b.\tan C = b.\cot B.\end{array}\)