Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {2; - 2;4} \right);\,\,B\left( { - 3;3; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - y + 2z - 8 = 0\). Xét điểm M là điểm thay đổi thuộc \(\left( P \right)\), giá trị nhỏ nhất của \(2M{A^2} + 3M{B^2}\) bằng:
-
A.
\(135\)
-
B.
\(105\)
-
C.
\(108\)
-
D.
\(145\)
Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thỏa mãn đẳng thức : \(2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 ,\) tìm tọa độ điểm I.
Sử dụng công thức cộng phân tích biểu thức đã cho bằng cách chèn điểm I.
+) Đánh giá, tìm GTNN của biểu thức.
Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thỏa mãn đẳng thức : \(2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\left( {2 - a; - 2 - b;4 - c} \right) + 3\left( { - 3 - a;3 - b; - 1 - c} \right) = \overrightarrow 0 \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - 2a - 9 - 3a = 0\\ - 4 - 2b + 9 - 3b = 0\\8 - 2c - 3 - 3c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5a - 5 = 0\\ - 5b + 5 = 0\\ - 5c + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 1;\;1;\;1} \right)\end{array}\)
Ta có :
\(\begin{array}{l}2M{A^2} + 3M{B^2} = 2{\overrightarrow {MA} ^2} + 3{\overrightarrow {MB} ^2}\\ = 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\\ = 5M{I^2} + \left( {2I{A^2} + 3I{B^2}} \right) + \overrightarrow {MI} \left( {2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} } \right)\\ = 5M{I^2} + \left( {2I{A^2} + 3I{B^2}} \right)\end{array}\)
Do I, A, B cố định nên \(2I{A^2} + 3I{B^2} = const\).
\( \Rightarrow {\left( {2M{A^2} + 3M{B^2}} \right)_{\min }} \Leftrightarrow 5M{I^2}_{\min }\)\( \Leftrightarrow \) M là hình chiếu của I trên (P)
Gọi \(\left( \Delta \right)\) là đường thẳng đi qua I vuông góc với (P) , ta có phương trình của \(\left( \Delta \right):\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 1 - t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\).
M là hình chiếu của I lên (P) \( \Rightarrow M \in \left( \Delta \right) \Rightarrow M\left( { - 1 + 2t;1 - t;1 + 2t} \right)\) .
Lại có \(M \in \left( P \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\left( { - 1 + 2t} \right) - \left( {1 - t} \right) + 2\left( {1 + 2t} \right) - 8 = 0\\ \Leftrightarrow - 2 + 4t - 1 + t + 2 + 4t - 8 = 0\\ \Leftrightarrow 9t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M\left( {1;0;3} \right)\end{array}\)
Khi đó ta có
\(\begin{array}{l}M{I^2} = 4 + 1 + 4 = 9;\;\;\;I{A^2} = 9 + 9 + 9 = 27;\;\;\;I{B^2} = 4 + 4 + 4 = 13\\ \Rightarrow {\left( {2M{A^2} + 3M{B^2}} \right)_{\min }} = 5.9 + 2.27 + 3.12 = 135\end{array}\)
Đáp án : A
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho đường thẳng \(d\) có VTCP \(\overrightarrow u \) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có VTPT \(\overrightarrow n \). Nếu \(d//\left( P \right)\) thì:
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho \(d\) là đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right):4x + 3y - 7z + 1 = 0\). Phương trình tham số của d là:
Cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{z}{3}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - z - 3 = 0\). Tọa độ giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right)\) là:
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 3z - 1 = 0\) và đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{{y - 2}}{3} = \dfrac{{z - 3}}{1}\). Khẳng định nào sau đây đúng:
Cho đường thẳng $d$ có phương trình $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 - t\\z = 3 + t\end{array} \right.$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $(P):x + y + z - 10 = 0$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Cho $d:\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 3}}{m} = \dfrac{{z - 1}}{{m - 2}};\,\,\,(P):x + 3y + 2z - 5 = 0$. Tìm $m$ để $d$ và $(P)$ vuông góc với nhau.
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng \((P):4x + y - 2 = 0\) . Đường thẳng nào trong các đường thẳng sau vuông góc với mặt phẳng $(P)$.
Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $\left( P \right):2x + y - z - 3 = 0$ và $\left( Q \right):x + y + z - 1 = 0$. Phương trình chính tắc đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) là:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $(\alpha ):4x + 3y - 7z + 3 = 0$ và điểm $I(0;1;1)$. Phương trình mặt phẳng $(\beta )$ đối xứng với $(\alpha )$ qua $I$ là:
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho cho điểm \(A\left( { - 1;3;2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 5y + 4z - 36 = 0\). Tọa độ hình chiếu \(H\) của \(A\) trên \(\left( P \right)\) là.
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho điểm $A(1;2; - 3)$và mặt phẳng $(P):x + y - 2z - 1 = 0$. Phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua $ A$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ là:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;3)$ và 2 đường thẳng${d_1}:\dfrac{{x + 3}}{1} = \dfrac{{y - 6}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{{ - 1}};{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 5 - 3t\\z = 4\end{array} \right.$. Phương trình mặt phẳng qua $A$ và song song với ${d_1},{d_2}$ là:
Trong không gian tọa độ \(Oxyz\) cho \(d:\dfrac{{x - 1}}{{ - 3}} = \dfrac{{y - 3}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 2}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 3y + z - 4 = 0\). Phương trình hình chiếu của \(d\) trên \(\left( P \right)\) là:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng \((P):x - y - z - 1 = 0\) và đường thẳng $d:\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{3}$. Phương trình đường thẳng \(\Delta \) qua \(A(1;1; - 2)\) vuông góc với $d$ và song song với $(P)$ là:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua hai điểm \(A(1;1;2),B(0; - 1;1)\) và song song với đường thẳng $d:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{2}$ là:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):x - y + 3z + 2 = 0$ và đường thẳng $(d):\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{3}$. Phương trình mặt phẳng $(Q)$ chứa đường thẳng $d$ và vuông góc với $(P)$ là:
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 3z + 4 = 0\) và đường thẳng \(d:\dfrac{{x + 2}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{z}{{ - 1}}\). Đường thẳng \(\Delta \) nằm trong \(\left( P \right)\) đồng thời cắt và vuông góc với \(d\) có phương trình:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm \(A(1;1;1),B(4;1;0)\) và \(C( - 1;4; - 1)\). Mặt phẳng $(P)$ nào dưới đây chứa đường thẳng $AB$ mà khoảng cách từ $C$ đến $(P)$ bằng \(\sqrt {14} \) .
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho tứ diện $ABCD$ có các đỉnh $A(1;2;1),B( - 2;1;3),C(2; - 1;1),D(0;3;1)$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua hai điểm $A,B$ sao cho $C,D$ cùng phía so với $(P)$ và khoảng cách từ $C$ đến $(P)$ bằng khoảng cách từ $D$ đến $(P)$ là:
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y = 0\). Phương trình nào sau đây là phương trình đường thẳng qua \(A\left( { - 1;3; - 4} \right)\) cắt trục \(Ox\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\):
