Biết hai hàm số $y = {a^x}$ và $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ đồng thời đồ thị của hai hàm số này đối xứng nhau qua đường thẳng $d:y = - x$. Tính $f\left( { - {a^3}} \right).$
-
A.
$f\left( { - {a^3}} \right) = - {a^{ - 3a}}.$
-
B.
$f\left( { - {a^3}} \right) = - \dfrac{1}{3}.$
-
C.
$f\left( { - {a^3}} \right) = - 3.$
-
D.
$f\left( { - {a^3}} \right) = - {a^{3a}}.$
- Tìm hàm số \(y = f\left( x \right)\).
- Tính giá trị \(f\left( { - {a^3}} \right)\) theo công thức vừa tìm được ở trên.
Giả sử \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\) là điểm thuộc hàm số \(y = {a^x}\); \(N\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm đối xứng của \(M\) qua đường thẳng \(y = - x\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(MN \Rightarrow I\left( {\dfrac{{{x_M} + {x_0}}}{2};\dfrac{{{y_M} + {y_0}}}{2}} \right)\).
Vì \(M,{\rm{ }}N\) đối xứng nhau qua $d$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in d\\\overrightarrow {MN} //\overrightarrow {{n_d}} \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{y_M} + {y_0}}}{2} = - \dfrac{{{x_M} + {x_0}}}{2}\\\dfrac{{{x_M} - {x_0}}}{1} = \dfrac{{{y_M} - {y_0}}}{1}\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = - {y_M}\\{y_0} = - {x_M}\end{array} \right.$
Ta có \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right) \in \) đồ thị \(y = {a^x}\) nên \({y_M} = {a^{{x_M}}}\).
Do đó ${x_0} = - {y_M} = - {a^{{x_M}}} = - {a^{ - {y_0}}}$$ \Rightarrow - {y_0} = {\log _a}\left( { - {x_0}} \right) \Leftrightarrow {y_0} = - {\log _a}\left( { - {x_0}} \right)$.
Điều này chứng tỏ điểm \(N\) thuộc đồ thị hàm số $f\left( x \right) = - {\log _a}\left( { - x} \right)$.
Khi đó \(f\left( { - {a^3}} \right) = - {\log _a}{a^3} = - 3.\)
Đáp án : C
Các bài tập cùng chuyên đề
Hàm số \(y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)\) xác định trên:
Hàm số \(y = {\log _a}x\) có đạo hàm là:
Chọn mệnh đề đúng:
Cho hàm số \(y = {\log _a}x\). Nếu \(0 < a < 1\) thì hàm số:
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)\) là đường thẳng:
Điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)\) nếu:
Điểm nào sau đây không thuộc đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)\)?
Cho hàm số \(y = {\log _{\frac{\pi }{4}}}x\). Khẳng định nào sau đây sai?
Gọi $(C)$ là đồ thị hàm số \(y = \log x\). Tìm khẳng định đúng?
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Cho $a, b$ là các số thực, thỏa mãn \(0 < a < 1 < b\), khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho \(a > 0,a \ne 1\). Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\log _{\sqrt 2 }}\left( {\dfrac{{ - 3}}{{2 - 2x}}} \right)\).
Đạo hàm hàm số \(y = {\log _{2018}}\left( {2018x + 1} \right)\) là:
Tính đạo hàm hàm số \(y = \ln \left( {1 + \sqrt {x + 1} } \right)\).
Cho $a, b$ là các số thực dương, thỏa mãn \({a^{\frac{3}{4}}} > {a^{\frac{4}{5}}}\) và \({\log _b}\dfrac{1}{2} < {\log _b}\dfrac{2}{3}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hàm số nào trong các hàm số sau có đồ thị phù hợp với hình vẽ bên?
Nếu gọi \(({G_1})\) là đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) và \(({G_2})\)là đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\) với \(0 < a \ne 1\). Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
Cho ba số thực dương $a, b, c$ khác $1$. Đồ thị các hàm số $y = \log_{a} x, y=\log_{b} x, y= \log_{c} x$ được cho trong hình vẽ sau:
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho hàm số \(y = \log ({x^2} - 2mx + 4)\) có tập xác định là $R$
