Trong khoảng \(\left( {0\,\,;\,\,\dfrac{\pi }{2}} \right)\) phương trình \({\sin ^2}4x + 3\sin 4x\cos 4x - 4{\cos ^2}4x = 0\) có:
-
A.
Ba nghiệm
-
B.
Một nghiệm
-
C.
Hai nghiệm
-
D.
Bốn nghiệm
- Xét \(\cos 4x = 0\) có thỏa mãn phương trình hay không.
- Xét \(\cos 4x \ne 0\), chia cả hai vế phương trình cho \({\cos ^2}4x \ne 0\), giải phương trình bậc hai ẩn \(\tan x\), từ đó suy ra nghiệm của phương trình.
Trường hợp 1: \(\cos 4x = 0 \Leftrightarrow 4x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in Z} \right)\). Khi đó \({\sin ^2}4x = 1\)
Thay vào phương trình ta có: \(1 + 3.0 - 4.0 = 0 \Leftrightarrow 1 = 0\,\,\left( {Vô lý} \right)\)
\( \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in Z} \right)\) không là nghiệm của phương trình.
Trường hợp 2: \(\cos 4x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in Z} \right)\). Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^2}4x\) ta được:
\(\dfrac{{{{\sin }^2}4x}}{{{{\cos }^2}4x}} + 3\dfrac{{\sin 4x}}{{\cos 4x}} - 4 = 0 \Leftrightarrow {\tan ^2}4x + 3\tan 4x - 4 = 0\)
Đặt \(\tan 4x = t\). Khi đó phương trình trở thành
\({t^2} + 3t - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan 4x = 1\\\tan 4x = - 4\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\4x = \arctan \left( { - 4} \right) + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{{16}} + \dfrac{{k\pi }}{4}\\x = \dfrac{1}{4}\arctan \left( { - 4} \right) + \dfrac{{k\pi }}{4}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\)
Xét nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{{16}} + \dfrac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in Z} \right),\,x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < \dfrac{\pi }{{16}} + \dfrac{{k\pi }}{4} < \dfrac{\pi }{2}\\k \in Z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < \dfrac{1}{{16}} + \dfrac{k}{4} < \dfrac{1}{2}\\k \in Z\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{1}{4} < k < \dfrac{7}{4}\\k \in Z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 0\\k = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{\pi }}{{16}}\\x = \dfrac{{5\pi }}{{16}}\end{array} \right.\)
Xét nghiệm \(x = \dfrac{1}{4}\arctan \left( { - 4} \right) + \dfrac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in Z} \right);\,\,x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\)
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}0 < \dfrac{1}{4}\arctan \left( { - 4} \right) + \dfrac{{k\pi }}{4} < \dfrac{\pi }{2}\\k \in Z\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{1}{4}\arctan \left( { - 4} \right) < \dfrac{{k\pi }}{4} < \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{1}{4}\arctan \left( { - 4} \right)\\k \in Z\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0,42 < k < 2,42\\k \in Z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 1\\k = 2\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{4}\arctan \left( { - 4} \right) + \dfrac{\pi }{4}\\x = \dfrac{1}{4}\arctan \left( { - 4} \right) + \dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy phương trình có 4 nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0\,\,;\,\,\dfrac{\pi }{2}} \right)\)
Đáp án : D
Các bài tập cùng chuyên đề
Phương trình \(\sin 2x + 3\sin 4x = 0\) có nghiệm là:
Phương trình \(\dfrac{{\cos 2x}}{{1 - \sin 2x}} = 0\) có nghiệm là:
Để phương trình \(\dfrac{{{a^2}}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}\) có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện:
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = \dfrac{\pi }{3}\\\cos x - \cos y = - 1\end{array} \right.\).
Phương trình \(\sqrt 3 {\cot ^2}x - 4\cot x + \sqrt 3 = 0\) có nghiệm là:
Phương trình \({\sin ^2}3x + \left( {{m^2} - 3} \right)\sin 3x + {m^2} - 4 = 0\) khi \(m = 1\) có nghiệm là:
Nghiệm của phương trình \(4{\sin ^2}2x + 8{\cos ^2}x - 9 = 0\) là:
Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình \(4{\sin ^2}x - 4\sin x - 3 = 0\) trên đường tròn lượng giác là:
Với giá trị nào của m thì phương trình \(\sqrt 3 \sin 2x - m\cos 2x = 1\) luôn có nghiệm?
Phương trình \(\sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x + 1 = 0\) có nghiệm là:
Khẳng định nào đúng về phương trình \(2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = 3 + \cos 2x\)
Phương trình \(\sin x + \sqrt 3 \cos x = \sqrt 2 \) có hai họ nghiệm có dạng \(x = \alpha + k2\pi ,\,x = \beta + k2\pi ,\)
\(\left( { - \dfrac{\pi }{2} < \alpha <\beta < \dfrac{\pi }{2}} \right)\) . Khi đó \(\alpha .\beta \) là:
Số vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình \(\sin x + \left( {\sqrt 3 - 2} \right)\cos x = 1\) trên đường tròn lượng giác là:
Tổng các nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]\) của phương trình \(2\sqrt 3 {\cos ^2}\dfrac{{5x}}{2} + \sin 5x = 1 + \sqrt 3 \) là:
Phương trình \({\sin ^3}x + {\cos ^3}x = \sin x - \cos x\) có nghiệm là:
Phương trình \(6{\sin ^2}x + 7\sqrt 3 \sin 2x - 8{\cos ^2}x = 6\) có nghiệm là:
Có bao nhiêu giá trị $m$ nguyên để phương trình \({\sin ^2}x - m\sin x\cos x - 3{\cos ^2}x = 2m\) có nghiệm?
Các giá trị nguyên dương nhỏ hơn 5 của m để phương trình \(\tan x + \cot x = m\) có nghiệm \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) có tổng là:
Với giá trị nào của $m$ thì phương trình \(\left( {1 - m} \right){\tan ^2}x - \dfrac{2}{{\cos x}} + 1 + 3m = 0\) có nhiều hơn 1 nghiệm trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) ?
Giải phương trình \(\sqrt 3 \cos 5x - 2\sin 3x\cos 2x - \sin x = 0\) ta được nghiệm:
