Tổng các nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]\) của phương trình \(2\sqrt 3 {\cos ^2}\dfrac{{5x}}{2} + \sin 5x = 1 + \sqrt 3 \) là:
-
A.
\(\dfrac{{3\pi }}{5}\)
-
B.
\(\dfrac{{29\pi }}{{30}}\)
-
C.
\(\dfrac{{5\pi }}{6}\)
-
D.
\(\dfrac{{23\pi }}{{30}}\)
- Sử dụng công thức hạ bậc \({\cos ^2}x = \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}\) để biến đổi phương trình đã cho thành phương trình bậc nhất đối với \(\sin x\) và \(\cos x\).
- Sử dụng phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với \(\sin x\) và \(\cos x\) để giải phương trình.
- Tìm các nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]\) và tính tổng.
\(\begin{array}{l}2\sqrt 3 {\cos ^2}\dfrac{{5x}}{2} + \sin 5x = 1 + \sqrt 3 \Leftrightarrow \sqrt 3 \left( {1 + \cos 5x} \right) + \sin 5x = 1 + \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \sin 5x + \sqrt 3 \cos 5x = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin 5x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 5x = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sin 5x\cos \dfrac{\pi }{3} + \cos 5x\sin \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {5x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{6}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\5x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{{30}} + \dfrac{{k2\pi }}{5}\\x = \dfrac{\pi }{{10}} + \dfrac{{k2\pi }}{5}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Với họ nghiệm \(x = - \dfrac{\pi }{{30}} + \dfrac{{k2\pi }}{5}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\), ta được
$\begin{array}{l}0 \le - \dfrac{\pi }{{30}} + \dfrac{{k2\pi }}{5}\,\, \le \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow 0 \le - \dfrac{1}{{30}} + \dfrac{{2k}}{5}\,\, \le \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{12}} \le k \le \dfrac{4}{3}\\k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Rightarrow k = 1\\ \Rightarrow x = - \dfrac{\pi }{{30}} + \dfrac{{2\pi }}{5} = \dfrac{{11\pi }}{{30}}\end{array}$
Với họ nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{{10}} + \dfrac{{k2\pi }}{5}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\), ta được:
$\begin{array}{l}0 \le \dfrac{\pi }{{10}} + \dfrac{{k2\pi }}{5}\,\,\, \le \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow 0 \le \dfrac{1}{{10}} + \dfrac{{2k}}{5}\,\, \le \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{1}{4} \le k \le 1\\k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 0\\k = 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{{10}}\\x = \dfrac{\pi }{{10}} + \dfrac{{2\pi }}{5} = \dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.\end{array}$
Vậy tổng các nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]\) là: $\dfrac{{11\pi }}{{30}} + \dfrac{\pi }{{10}} + \dfrac{\pi }{2} = \dfrac{{29\pi }}{{30}}$
Đáp án : B
Các bài tập cùng chuyên đề
Phương trình \(\sin 2x + 3\sin 4x = 0\) có nghiệm là:
Phương trình \(\dfrac{{\cos 2x}}{{1 - \sin 2x}} = 0\) có nghiệm là:
Để phương trình \(\dfrac{{{a^2}}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}\) có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện:
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = \dfrac{\pi }{3}\\\cos x - \cos y = - 1\end{array} \right.\).
Phương trình \(\sqrt 3 {\cot ^2}x - 4\cot x + \sqrt 3 = 0\) có nghiệm là:
Phương trình \({\sin ^2}3x + \left( {{m^2} - 3} \right)\sin 3x + {m^2} - 4 = 0\) khi \(m = 1\) có nghiệm là:
Nghiệm của phương trình \(4{\sin ^2}2x + 8{\cos ^2}x - 9 = 0\) là:
Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình \(4{\sin ^2}x - 4\sin x - 3 = 0\) trên đường tròn lượng giác là:
Với giá trị nào của m thì phương trình \(\sqrt 3 \sin 2x - m\cos 2x = 1\) luôn có nghiệm?
Phương trình \(\sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x + 1 = 0\) có nghiệm là:
Khẳng định nào đúng về phương trình \(2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = 3 + \cos 2x\)
Phương trình \(\sin x + \sqrt 3 \cos x = \sqrt 2 \) có hai họ nghiệm có dạng \(x = \alpha + k2\pi ,\,x = \beta + k2\pi ,\)
\(\left( { - \dfrac{\pi }{2} < \alpha <\beta < \dfrac{\pi }{2}} \right)\) . Khi đó \(\alpha .\beta \) là:
Số vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình \(\sin x + \left( {\sqrt 3 - 2} \right)\cos x = 1\) trên đường tròn lượng giác là:
Phương trình \({\sin ^3}x + {\cos ^3}x = \sin x - \cos x\) có nghiệm là:
Phương trình \(6{\sin ^2}x + 7\sqrt 3 \sin 2x - 8{\cos ^2}x = 6\) có nghiệm là:
Trong khoảng \(\left( {0\,\,;\,\,\dfrac{\pi }{2}} \right)\) phương trình \({\sin ^2}4x + 3\sin 4x\cos 4x - 4{\cos ^2}4x = 0\) có:
Có bao nhiêu giá trị $m$ nguyên để phương trình \({\sin ^2}x - m\sin x\cos x - 3{\cos ^2}x = 2m\) có nghiệm?
Các giá trị nguyên dương nhỏ hơn 5 của m để phương trình \(\tan x + \cot x = m\) có nghiệm \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) có tổng là:
Với giá trị nào của $m$ thì phương trình \(\left( {1 - m} \right){\tan ^2}x - \dfrac{2}{{\cos x}} + 1 + 3m = 0\) có nhiều hơn 1 nghiệm trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) ?
Giải phương trình \(\sqrt 3 \cos 5x - 2\sin 3x\cos 2x - \sin x = 0\) ta được nghiệm:
