Biểu thức \(P = \dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}}\), với mọi giá trị của \(a\), \(b\), \(c > 0\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
A.
\(0 < P \le \dfrac{3}{2}\).
-
B.
\(P > \dfrac{3}{2}\).
-
C.
\(P \ge 2\).
-
D.
\(P \ge \dfrac{3}{2}\).
Cộng thêm \(3\) vào \(P\) và sử dụng bất đẳng thức Cô – si cho các số dương tìm GTNN của \(P\), từ đó suy ra kết luận.
Ta có \(P = \dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}}\)
$ \Rightarrow P + 3 = \dfrac{a}{{b + c}} + 1 + \dfrac{b}{{c + a}} + 1 + \dfrac{c}{{a + b}} + 1$
$ \Leftrightarrow P + 3 = \dfrac{{a + b + c}}{{b + c}} + \dfrac{{a + b + c}}{{c + a}} + \dfrac{{a + b + c}}{{a + b}}$
$ \Leftrightarrow P + 3 = \left( {a + b + c} \right).\left( {\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{a + b}}} \right)$
Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho 3 số không âm ta có:
$\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{a + b}} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{b + c}}.\dfrac{1}{{c + a}}.\dfrac{1}{{a + b}}}}$ (1)
Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho 3 số không âm ta có:
\(\left( {b + c} \right) + \left( {c + a} \right) + \left( {a + b} \right) \ge 3\sqrt[3]{{\left( {b + c} \right).\left( {c + a} \right).\left( {a + b} \right)}}\)
Suy ra \(2\left( {a + b + c} \right) \ge 3\sqrt[3]{{\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\left( {a + b} \right)}}\) \( \Leftrightarrow a + b + c \ge \dfrac{3}{2}\sqrt[3]{{\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\left( {a + b} \right)}}\) (2)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{a + b}}} \right) \ge \dfrac{9}{2}\)
Do đó \(P + 3 \ge \dfrac{9}{2}\)$ \Rightarrow P \ge \dfrac{3}{2}$.
Vậy mệnh đề $P \ge \dfrac{3}{2}$ đúng với mọi giá trị của \(a\), \(b\), \(c > 0\).
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\).
Đáp án : D
Các bài tập cùng chuyên đề
Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{x}{2} + \dfrac{2}{{x - 1}}$ với $x > 1$ là
Cho các mệnh đề sau
\(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2\;\;\left( I \right)\); \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} \ge 3\;\;\left( {II} \right)\); \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{9}{{a + b + c}}\;\;\left( {III} \right)\)
Với mọi giá trị của \(a\), \(b\), \(c\) dương ta có
Để bất phương trình \(\sqrt {\left( {x + 5} \right)\left( {3 - x} \right)} \le {x^2} + 2x + a\) nghiệm đúng \(\forall x \in \left[ { - 5;3} \right]\), tham số \(a\) phải thỏa mãn điều kiện:
Người ta dùng \(100\,{\rm{m}}\) rào để rào một mảnh vườn hình chữ nhật để thả gia súc. Biết một cạnh của hình chữ nhật là bức tường (không phải rào). Tính diện tích lớn nhất của mảnh để có thể rào được?
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \dfrac{{4{x^4} - 3{x^2} + 9}}{{{x^2}}}\); \(x \ne 0\) là
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \( - {x^2} + x - m > 0\) vô nghiệm.
Tìm các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(\left( {m - 1} \right){x^2} - 2mx + m = 0\) có một nghiệm lớn hơn \(1\) và một nghiệm nhỏ hơn \(1\)?
Cho bất phương trình \(4\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - x} \right)} \le {x^2} - 2x + m - 3\). Xác định $m$ để bất phương trình nghiệm đúng với \(\forall x \in \left[ { - 1;3} \right]\).
Hệ sau có nghiệm duy nhất \(\left\{ \begin{array}{l}mx \le m - 3\\\left( {m + 3} \right)x \ge m - 9\end{array} \right.\) khi và chỉ khi
Giải bất phương trình \(\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x + 3} \ge {x^3} + 3x - 1\) (với \(x \in \mathbb{R}\)), ta được tập nghiệm là \(S = \left[ {\dfrac{a}{b};c} \right]\) với \(a,b,c \in {\mathbb{N}^*}\), phân số \(\dfrac{a}{b}\) tối giản. Khi đó \(a + b + c\) bằng
Hàm số \(y = \dfrac{4}{x} + \dfrac{9}{{1 - x}}\) với \(0 < x < 1\), đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \dfrac{a}{b}\) (\(a\), \(b\) nguyên dương, phân số \(\dfrac{a}{b}\) tối giản). Khi đó \(a + b\) bằng
