Tìm các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(\left( {m - 1} \right){x^2} - 2mx + m = 0\) có một nghiệm lớn hơn \(1\) và một nghiệm nhỏ hơn \(1\)?
-
A.
\(0 < m < 1\).
-
B.
\(m > 1\).
-
C.
\(m \in \emptyset \).
-
D.
\(\left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m \ne 1\end{array} \right.\).
Phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} < 1 < {x_2}\) nếu \(\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) < 0\), áp dụng Vi – et suy ra điều kiện của \(m\)
Với \(m - 1 \ne 0\) ta xét phương trình: \(\left( {m - 1} \right){x^2} - 2mx + m = 0\)\(\left( 1 \right)\).
Ta có: \(\Delta ' = {b'^2} - ac\) \( = {m^2} - m\left( {m - 1} \right)\) \( = m\).
Để phương trình \(\left( 1 \right)\)có hai nghiệm phân biệt thì: \(\Delta ' > 0\) \( \Leftrightarrow m > 0\).
Giả sử \({x_1}\), \({x_2}\) là hai nghiệm của \(\left( 1 \right)\) và \({x_1} > 1\), \({x_2} < 1\).
Ta có: \(\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) < 0\)\( \Leftrightarrow \) \({x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 < 0\)\(\left( * \right)\).
Theo Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1}.{x_2} = \dfrac{m}{{m - 1}}\\{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2m}}{{m - 1}}\end{array} \right.\), thay vào \(\left( * \right)\) ta có:
\(\dfrac{m}{{m - 1}} - \dfrac{{2m}}{{m - 1}} + 1 < 0\)\( \Leftrightarrow \) \(\dfrac{{ - 1}}{{m - 1}} < 0\)\( \Leftrightarrow m > 1\).
Vậy với \(m > 1\) thỏa mãn điều kiện bài toán.
Đáp án : B
Các bài tập cùng chuyên đề
Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{x}{2} + \dfrac{2}{{x - 1}}$ với $x > 1$ là
Cho các mệnh đề sau
\(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2\;\;\left( I \right)\); \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} \ge 3\;\;\left( {II} \right)\); \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{9}{{a + b + c}}\;\;\left( {III} \right)\)
Với mọi giá trị của \(a\), \(b\), \(c\) dương ta có
Để bất phương trình \(\sqrt {\left( {x + 5} \right)\left( {3 - x} \right)} \le {x^2} + 2x + a\) nghiệm đúng \(\forall x \in \left[ { - 5;3} \right]\), tham số \(a\) phải thỏa mãn điều kiện:
Người ta dùng \(100\,{\rm{m}}\) rào để rào một mảnh vườn hình chữ nhật để thả gia súc. Biết một cạnh của hình chữ nhật là bức tường (không phải rào). Tính diện tích lớn nhất của mảnh để có thể rào được?
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \dfrac{{4{x^4} - 3{x^2} + 9}}{{{x^2}}}\); \(x \ne 0\) là
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \( - {x^2} + x - m > 0\) vô nghiệm.
Cho bất phương trình \(4\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - x} \right)} \le {x^2} - 2x + m - 3\). Xác định $m$ để bất phương trình nghiệm đúng với \(\forall x \in \left[ { - 1;3} \right]\).
Hệ sau có nghiệm duy nhất \(\left\{ \begin{array}{l}mx \le m - 3\\\left( {m + 3} \right)x \ge m - 9\end{array} \right.\) khi và chỉ khi
Biểu thức \(P = \dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}}\), với mọi giá trị của \(a\), \(b\), \(c > 0\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Giải bất phương trình \(\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x + 3} \ge {x^3} + 3x - 1\) (với \(x \in \mathbb{R}\)), ta được tập nghiệm là \(S = \left[ {\dfrac{a}{b};c} \right]\) với \(a,b,c \in {\mathbb{N}^*}\), phân số \(\dfrac{a}{b}\) tối giản. Khi đó \(a + b + c\) bằng
Hàm số \(y = \dfrac{4}{x} + \dfrac{9}{{1 - x}}\) với \(0 < x < 1\), đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \dfrac{a}{b}\) (\(a\), \(b\) nguyên dương, phân số \(\dfrac{a}{b}\) tối giản). Khi đó \(a + b\) bằng
