Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \dfrac{{4{x^4} - 3{x^2} + 9}}{{{x^2}}}\); \(x \ne 0\) là
-
A.
\(9\).
-
B.
\( - 3\).
-
C.
\(12\).
-
D.
\(10\).
Chia tử cho mẫu và áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)
Xét hàm số \(y = \dfrac{{4{x^4} - 3{x^2} + 9}}{{{x^2}}}\)\( = 4{x^2} + \dfrac{9}{{{x^2}}} - 3\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: \(4{x^2} + \frac{9}{{{x^2}}} \ge 2\sqrt {4{x^2}.\frac{9}{{{x^2}}}} {\rm{\;}} = 12\).
Trừ 3 ở hai vế của bất đẳng thức, ta được: \(4{x^2} + \frac{9}{{{x^2}}} - 3 \ge 9\).
Suy ra \(y \ge 9\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \dfrac{{4{x^4} - 3{x^2} + 9}}{{{x^2}}}\) là \(9\) khi \(4{x^2} = \dfrac{9}{{{x^2}}} \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}\).
Đáp án : A
